2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:43 


09/04/14
2
Xaositect в сообщении #847594 писал(а):
А чем можно пользоваться? Тут нужно что-то эквивалентное аксиоме выбора. Аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело (о том, что любое множество вполне упорядочивается) - что-нибудь из этого было у Вас в курсе?

Пользоваться можно всем. Преподаватель дал эту задачу для самостоятельного изучения. У старшекурсников удалось узнать, что доказать нужно с помощью леммы Цорна, только я не понял как ее связать с моей задачей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152

(Оффтоп)

lena7 в сообщении #847628 писал(а):
Я имела в виду Кантора--Бернштейна. Вы тоже.

Первоначальное доказательство использовало аксиому выбора, однако эта аксиома необязательна для доказательства данной теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4607
nikvic в сообщении #847630 писал(а):
Первоначальное доказательство использовало аксиому выбора, однако эта аксиома необязательна для доказательства данной теоремы.


Для доказательства теоремы Кантора-Бернштейна аксиома выбора не нужна. Она нужна для того, чтобы проверить изначальные условия теоремы для множеств в данной задаче (а именно, как сказала lena7, одно из неравенств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:53 
Заслуженный участник


29/04/12
268
woohoo в сообщении #847629 писал(а):
Пользоваться можно всем.

Если всем, то проще через теорему Цермело: каждое множество можно вполне упорядочить. Попробуйте сначала без подсказок. Для этого вспомните всё, что знаете об вполне упорядоченных множествах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15000
Новомосковск
ghetto в сообщении #847608 писал(а):
Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.
Взаимное включение, то есть, $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, равносильно равенству $A=B$.

lena7 в сообщении #847611 писал(а):
Для одного из неравенств всё равно понадобится аксиома выбора в какой-нибудь форме.
В книге К.Куратовского и А.Мостовского "Теория множеств" (глава VIII, § 6), написано, что неизвестно, эквивалентна ли формула $\mathfrac{m}+\mathfrac{m}=\mathfrac{m}$ аксиоме выбора в ZF. Я не в курсе, изменилось ли положение с 1970 года.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:55 


14/03/14
112
--mS-- в сообщении #847623 писал(а):

(Оффтоп)

ghetto в сообщении #847608 писал(а):
Я просто привык автоматически ассоцировать взаимное включение двух множеств с равенством. Подзабыл, что это правило не обязательно для бесконечных множеств хотя бы по определению оных.

Равенство любых множеств $A$ и $B$ означает, что $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$. Не по правилу, а по определению.


(Оффтоп)

А. Еще оказывается подзабыл, что равенство и мощность - два разных понятия.

$ \mathbb N$ $\neq$ $\mathbb Z$, хотя $ \mathbb |N|$ = $\mathbb |Z|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4607
Someone,

http://math.stackexchange.com/questions ... mm-m-to-ac

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение09.04.2014, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15000
Новомосковск

(g______d)

g______d, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность объединения двух равномощных множеств
Сообщение10.04.2014, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5891
woohoo в сообщении #847629 писал(а):
Пользоваться можно всем. Преподаватель дал эту задачу для самостоятельного изучения. У старшекурсников удалось узнать, что доказать нужно с помощью леммы Цорна, только я не понял как ее связать с моей задачей.
Если через лемму Цорна, то с помощью нее можно доказать, что бесконечное множество можно представить в виде объединения непересекающихся счетных множеств. Из этого уже выводится нужное утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group