2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Метод трапеций
Сообщение07.04.2014, 02:40 


29/08/11
1759
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей:

Вычислить интеграл по формуле трапеций с четырьмя десятичными знаками. Оценить точность вычислений ($n=8$).
$$\int\limts_{2}^{3.5} \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

Сразу непонятен такой момент: если вычислять интеграл с четырьмя десятичными знаками, то точность уже будет известна -- тогда что оценивать? Ведь для определения $n$ и оценки точности используется одна и та же формула. А еще в условии дано, что $n=8$ :shock:

Опустим этот момент, вычисляем дальше.

Пусть $M_{2}$ - максимум модуля второй производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Для вычисления интеграла с четырьмя десятичными знаками, необходимо найти кол-во отрезков, на которые необходимо разделить отрезок интегрирования ($n$).

Для вычисления с тремя десятичными знаками, в методичке дана формула: $$\frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_{2} < 0.0005$$

Непонятно, откуда взято число $0.0005$, ведь уже при $0.0009$ будет три десятичных знака.

Но ладно, пусть будет $0.0005$, тогда, по логике, для четырех десятичных знаков необходимо: $$\frac{(b-a)^3}{12n^2} \cdot M_{2} < 0.00005$$

Подставляем исходные данные, получаем: $$\frac{(1.5)^3}{12n^2} \cdot 0.57735 < 0.00005 \Rightarrow n > 56.9877 \Rightarrow n = 57$$

И вот мы пришли к тому, что для четырех десятичных цифр, необходимо разделить отрезок интегрирования на $57$ частей, что, в принципе, для учебной задачи несколько абсурдно.

Вычисления все верные, проверял в мат. пакетах, формулы, скорее всего тоже. И вот у меня возникает вопрос: а что же неверно? :?:

У меня есть две мысли:

1) Некорректное условие (так как в итоге получаем разделение на $57$ отрезков, что весьма велико).

2) Я что-то делаю не так (в упор не вижу что).

Буду очень признателен, если просмотрите логику моего решения, и вынесите вердикт :-) Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение07.04.2014, 04:04 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Я уже говорил, что этот способ оценки погрешностей никто не использует, он слишком груб (да и очень трудоёмок), далеко не факт что для достижения нужной точности вам нужно разбивать интервал на 57 частей. (надеюсь вы всё верно сосчитали, я не проверял). Используйте правило Рунге. Возьмите и напишите программу, которая вычисляет определённые интегралы с заданной точностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение07.04.2014, 04:16 


29/08/11
1759
Ms-dos4 в сообщении #846555 писал(а):
Я уже говорил, что этот способ оценки погрешностей никто не использует, он слишком груб (да и очень трудоёмок).

Никто не использует в практических расчетах, где важен именно результат, и его погрешность. Здесь же обычная учебная задача на знание формул.

Ms-dos4 в сообщении #846555 писал(а):
(надеюсь вы всё верно сосчитали, я не проверял)

Да, арифметика верна. А ход мыслей верный, не подскажите?

Ms-dos4 в сообщении #846555 писал(а):
Используйте правило Рунге. Возьмите и напишите программу, которая вычисляет определённые интегралы с заданной точность.

Понимаете, я не позиционирую эту задачу как практическую, она просто учебная. Если мне был бы важен результат и его точность, я бы за пару минут рассчитывал все это в мат. пакетах, но тут суть не та :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение07.04.2014, 04:20 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Формально всё верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение07.04.2014, 15:40 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Спасибо!

Появился еще один вопрос: нашел я вот такое предложение в одной из методичек по ЧМ: "Абсолютная погрешность $R_{n}$ будет меньше наперед заданного числа $\epsilon>0$ если взять $n > \sqrt{ \frac{M \cdot (b-a)}{12 \epsilon}}$ "

По этой формуле получается $n = 32$. То есть для одного и того же метода разные формулы для определения кол-во отрезков разделения для достижения заданной точности. Такое вообще может быть? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение07.04.2014, 20:16 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Конечно может, поскольку это формулы для определения достаточного кол-ва отрезков разделения для достижения заданной точности. То есть, в данном случае, и при $n=32$ и при $n=57$ вы уложитесь в заданную погрешность. Но нигде не говорится, что эти формулы обеспечивают наименьшее $n$. На самом деле оно гораздо меньше Вами вычисленных оценок. Проделайте то, что Вам предлагается в задаче - посчитайте интеграл методом трапеций с восемью отрезками разбиения. И сравните результат с точным значением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение07.04.2014, 20:18 


29/08/11
1759
Cash
Спасибо за ответ!

Меня смутило то, что для поиска $n$, используют две разные формулы, и при одной и то же точности, найденное $n$ отличается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 04:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Limit79 в сообщении #846746 писал(а):
Ms-dos4
Спасибо!

Появился еще один вопрос: нашел я вот такое предложение в одной из методичек по ЧМ: "Абсолютная погрешность $R_{n}$ будет меньше наперед заданного числа $\epsilon>0$ если взять $n > \sqrt{ \frac{M \cdot (b-a)}{12 \epsilon}}$ "

По этой формуле получается $n = 32$. То есть для одного и того же метода разные формулы для определения кол-во отрезков разделения для достижения заданной точности. Такое вообще может быть? :shock:

$ \epsilon=0.0005$, формула та же самая

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 14:01 


29/08/11
1759
TOTAL в сообщении #847039 писал(а):
$ \epsilon=0.0005$,

Почему? Мне нужно четыре десятичных знака, то есть $\epsilon = 0.00005$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 14:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Cash в сообщении #846857 писал(а):
Но нигде не говорится, что эти формулы обеспечивают наименьшее $n$. На самом деле оно гораздо меньше Вами вычисленных оценок.

Так уж и гораздо. Вторая производная меняется на этом отрезке где-то раз в пять, т.е. её максимальное значение превышает среднее раза в три. Соответственно, требуемое количество отрезков завышено всего лишь раза в два.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 14:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
ewert в сообщении #847146 писал(а):
Соответственно, требуемое количество отрезков завышено всего лишь раза в два.

А если ещё учесть монотонность 2-й производной...

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 14:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847150 писал(а):
А если ещё учесть монотонность 2-й производной...

То что?

На самом деле существенна не монотонность, а неравномерность убывания, и я её учитывал (для этого постоянно и завышал промежуточные результаты). Другое дело, что все прикидки я делал очень на глазок; вполне возможно, что расхождение там не в два раза, а раза в два с половиной, но уж наверняка меньше, чем в три.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
ewert в сообщении #847157 писал(а):
То что?

На самом деле существенна не монотонность,

Факт. Спутал с Симпсоном :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 16:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847180 писал(а):
Спутал с Симпсоном :facepalm:

А для Симпсона там всё ровно так же, как и для трапеций, разве что именно вторая производная совершенно не при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод трапеций
Сообщение08.04.2014, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
ewert в сообщении #847186 писал(а):
nikvic в сообщении #847180 писал(а):
Спутал с Симпсоном :facepalm:

А для Симпсона там всё ровно так же, как и для трапеций, разве что именно вторая производная совершенно не при чём.

Обычно Симпсона оценивают через максимум 4-й производной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group