Асимптоты комплексной функции

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #845944 писал(а):

я надеялся на Ваше высокопрофессиональное мнение

Моё высокопрофессиональное мнение сделало вывод, что объектом обобщения является некое понятие асимтпотического направления (вектор).
Оно, однако, никак не может осознать, что интересного в этом понятии. Может, интересна была бы некая "асимптотическая прямая", но она определяется не только одним "вектором асимптотического направления".
А уж почему там прямая (при описанном Вами способе получении уравнений) с чем-то пересекается --- совсем непонятно. Моё высокопрофессиональное мнение никогда не выходило за рамки 3D, а в 2D-3D всё асимптотическое крайне редко вступало в пересечения с окружающими предметами.

Короче, оно ничо не поняло.

Shtorm в сообщении #845944 писал(а):

На этом этапе нужно остановиться и спросить мнение заслуженных участников.

Не ограничивайте контингент ответчиков. Мимо пробегает множество Незаслуженных участников, разбирающихся в предмете (математике, I mean) получше нас с Вами.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #845955 писал(а):

...Может, интересна была бы некая "асимптотическая прямая", но она определяется не только одним "вектором асимптотического направления".
А уж почему там прямая (при описанном Вами способе получении уравнений) с чем-то пересекается --- совсем непонятно.

Да. Если поверхность имеет асимптотическое направление, то это не означает, что она имеет асимптоту поверхности. Но, если поверхность не имеет асимптотического направления, то точно и асимптоты не имеет. Система параметрических уравнений, задающих прямую, Александрову нужна для исследования поведения этой прямой и поверхности. То есть, прямая может пересекать поверхность в нескольких точках, может иметь только одну общую точку, а может не иметь общих точек. Если старший коэффициент в полученном уравнении (после подстановки параметрических уравнений прямой в уравнение поверхности) равен нулю, то поверхность имеет асимптотическое направление. И вот теперь далее: если поверхность уже точно имеет асимптотическое направление, то 3 случая, в зависимости от следующих коэффициентов: 1.) прямая может быть касательной, 2.) прямая может быть асимптотой 3.) прямая может быть образующей поверхности.
Жаль, Александров ограничивается рассмотрением только алгебраических поверхностей 2-го порядка.

Алексей К. в сообщении #845955 писал(а):

Не ограничивайте контингент ответчиков

Да. Вы правы.

[g______d]

Shtorm в сообщении #845944 писал(а):

Соответственно, можем рассмотреть аналогичный объект (не знаю как его назвать, может гиперпрямая?), заданный 4-мя уравнениями с параметром.

Может быть, его назвать "прямая"?

-- Сб, 05 апр 2014 19:28:59 --

И еще, можно прояснить используемую терминологию? Считается ли прямая $y=0$ асимптотой графика функции $y=\frac{\sin x}{x}$?

[Shtorm]

g______d в сообщении #846026 писал(а):

Может быть, его назвать "прямая"?

Хорошо, назовём этот объект "прямая в 4-мерном пространстве". Но вот сегодня всё утро крутилось в голове: ну хорошо, взяли такую прямую, написали эти 4 уравнения с параметром. НО! В этих 4-ёх параметрических уравнениях нужно использовать только действительные переменные и действительные коэффициенты или необходимо записать систему уравнений с использованием комплексных переменных и комплексных коэффициентов?

g______d в сообщении #846026 писал(а):

И еще, можно прояснить используемую терминологию? Считается ли прямая $y=0$ асимптотой графика функции $y=\frac{\sin x}{x}$?

Конечно, будет являться асимптотой. Я понимаю, почему Вы задали такой вопрос: возникает противоречие с определением асимптот как частного случая асимптотических направлений по Александрову. Опять подходим к тому вопросу, что Александров рассматривал только алгебраические кривые и для них вводил определения. А в Вашем примере - не алгебраическая кривая.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #846268 писал(а):

почему Вы задали такой вопрос: возникает противоречие с определением асимптот

Пожалуй я тут неправильно написал. Противоречия нет. Прямая может пересекать алгебраическую кривую $n$-го порядка и при этом быть асимптотой. Другое дело, что для кривых 2-го порядка - если пересекает, то не является асимптотой. А порядок $n>2$ - без проблем.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #845960 писал(а):

Система параметрических уравнений, ..., Александрову нужна для ...

Я в своё время сильно полюбил японский язык (нет, освоить не удалось); способствовало этому не только его сходство с моим любимым языком программирования, но и то, что подобные выражения в нём запрещены не только на морально-этическом уровне (что иногда наблюдается и вне Японии, в общении особо культурных особей), но запрещены тупо --- на уровне грамматики.

По-японски нельзя буквально сказать "он хочет купить машину", по аналогии с "я хочу купить машину".
Для подобных штук существуют штампы типа "он имеет вид человека, желающего купить машину". Нам не дано столь точно знать такие вещи про третьих лиц. В третьем лице оно и запрещено. Так меня учили, и мне это страшно понравилось. Надоело слушать от соотечественников "Почему ты такой грустный" и отвечать, что у тебя, мол, барахлит интерпретатор образов.

В русском языке такого запрета нет, но есть много вариантов приличного словописания:
"Похоже, система параметрических уравнений Александрову нужна для..."
"У меня сложилось впечатление, что система параметрических уравнений Александрову нужна для..."
Есть стандартное "Мне кажется, что..."
итп.

(offtop-2)

А ещё (вспомнил) --- неприлично просить у продавца типа "три яблока". Просят "примерно три яблока". Тем самым ты не ограничиваешь его свободу, не диктаторствуешь, и, естественно, получишь свои ровно три яблока. Хорошая страна.
А Александров, не будем забывать, --- корифей.

[g______d]

Shtorm в сообщении #846268 писал(а):

Конечно, будет являться асимптотой.

Я на всякий случай спросил.

Shtorm в сообщении #846268 писал(а):

В этих 4-ёх параметрических уравнениях нужно использовать только действительные переменные и действительные коэффициенты или необходимо записать систему уравнений с использованием комплексных переменных и комплексных коэффициентов?

Странный вопрос. Если мы уже отождествили $\mathbb C^2$ с $\mathbb R^4$, зачем нам еще в 2 раза увеличивать размерность?

Хорошо, если уж очень хочется ввести асимптоты для графиков функции комплексной переменной, то можно попробовать определить так: прямая в $\mathbb R^4$, такая что расстояние от точки на ней до графика стремится к нулю при стремлении параметра прямой к $+\infty$ или $-\infty$.

В качестве бонуса: если функция алгебраическая, то число точек пересечения с графиком будет либо конечным (тогда можно заменить прямую на луч, не пересекающийся с графиком), либо отрезок прямой будет лежать на графике. В последнем случае функция может быть только линейной (принцип аналитического продолжения). Если функция не алгебраическая, то возможна ситуация вроде $\frac{\sin x}{x}$.

Но опять же возникает вопрос "зачем"? Как мне кажется, цель конструкций в книге Александрова – рассказать про асимптоты квадрик без использования понятия предела. Поскольку данная тема происходит из анализа, нет никакого смысла его избегать. А в анализе часто намного удобнее сразу говорить про асимптотические разложения.