Решение уравнения в целых числах

bot · 21/12/05 5904 Новосибирск

Апис писал(а):

Замечания не по существу забивают тему мусором.

Граждане, будьте сознательны, не забивайте урну мусором!

нг · 30/11/06 1265

!	bot, Участие в теме — вопрос сугубо добровольный. Но Ваше замечание — не по существу (особенно месяц спустя, да еще и после замечания Апису).

Апис · 24/01/07 ∞ 402

Иногда вместо того что бы просто изложить готовое, начинаю по ходу изложения вносить поправки и никчему хорошему это не приводит. Вторую часть данной работы приведу ещё раз, но в первоначальном виде, в том виде, в котором она у меня существует, выглядит доказательство как решение школьной задачи, но я и занимался этим вопросом в то чудесное время.
Рассмотрим второй частный случай теоремы $x^n + y^n = z^n$
n>2; n - чётное число; x y z $\ne$ 0
так как n-чётное число, показатель степени можно представить в виде (n=p2)
Уравнение примет вид $(x^p )^2 + (y^p )^2 = (z^p )^2$ (3)
Буквой (d) обозначим разницу между числами $(z^p )(x^p )$ $z^p - x^p = d$
$x^p = z^p - d$
Подставим значение $x^p$ в уравнение (3)
$(z^p - d)^2 + (y^p )^2 = (z^p )^2$
Упростим уравнение
$(z^p )^2 - 2 \cdot z^p \cdot d + d^2 + (y^p )^2 = (z^p )^2$
$- 2 \cdot z^p \cdot d + d^2 + (y^p )^2 = 0$
$2 \cdot z^p \cdot d = d^2 + (y^p )^2$

$z^p = \frac{{(y^p )^2 + d^2 }}{{2d}}$
$z^p = \frac{{(y^p )^2 }}{{2d}} + 0.5 \cdot d$ (4)
Даём в уравнении (4) значению (y) последовательно значения всех целых чисел начиная с (3) y=(3,4,5,...) y=c c - целое число y>2
В первом частном случае мы доказали, что при любом (y=с; y>2), в урвнении (4) это $(y^p = c)(y^p > 2)$ в левой части уравнения можно получить целое число (с)
Но получить в левой части уравнения (4) целое число (c) необходимо. но недостаточно. Это целое число (с) должнобыть степенью основания (z) при показателе степени (p) то есть $z^p = c$ . Но и этого недостаточно получив $c = z^p$ необходимо что бы разница между числами $z^p - d = c'$ была степенью основания (x) при показателе степени (p) т.е. $x^p = c'$ Мы не знаем возможно ли это.
Предположим, что возможно и проверим предположение
$z^p = \frac{{(y^p )^2 }}{{2 \cdot d}} + 0.5 \cdot d$ (4)
$x^p = \frac{{(y^p )^2 }}{{2 \cdot d}} - 0.5 \cdot d$ (5)
Проверим равенства (4) и (5). Равенства, так как мы предположили, что есть такие значения x=c, y=c, z=c Которые являются решением уравнения $x^n + y^n = z^n$ при (n>2) n - чётное число, $x \cdot y \cdot z \ne 0$
Разделив левые и правые части равенств (4) и (5) на (0,5d) получим
$\frac{{2 \cdot z^p }}{d} = \frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1$ (4)
$\frac{{2 \cdot x^p }}{d} = \frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1$ (5)
Оратим внимание на правые части равенств (4 и 5)
$\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1$ $\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1$
Во первых эти числа целые (с) так как мы выше заметили $\frac{{y^p }}{d} = c$ это необходимое условие
$[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1] = c$ $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1] = c$
Разница между ними равна двум
$[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1] - [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1] = 2$
Исходя из этого мы можем утверждать. что эти два целых числа при разложении их на простые множители, не будут иметь одинаковых простых множителей. Кроме случая, когда эти числа чётные, они будут иметь одинаковые простые множители но только двойки.
Вернёмся к равенствам (4) и (5)
$\begin{array}{l} \frac{{2z^p }}{d} = \frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1 \\ \frac{{2x^p }}{d} = \frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1 \\ \\ 2 \cdot z^p = [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1] \cdot d \\ 2 \cdot x^p = [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1] \cdot d \\ \end{array}$
Числа (z) и(x) представим в виде произведения простых сомножителей
$\begin{array}{l} z = (z_1 z_2 z_3 .....z_n ) \\ x = (x_1 x_2 x_3 .....x_m ) \\ z^p = [(z_1 z_2 z_3 ...z_n ) \cdot (z_1 z_2 z_3 ...z_n)..... \cdot (z_1 z_2 z_3 ...z_n )]_p \\ x^p = [(x_1 x_2 x_3 ...x_m ) \cdot (x_1 x_2 x_3 ...x_m )..... \cdot (x_1 x_2 x_3 ...x_m )]_p \\ z^p = (z_1 z_1 z_1 ...z_1 )_p \cdot (z_2 z_2 z_2 ...z_2 )_p \cdot (z_3 z_3 z_3 ...z_3 )_p ..... \cdot (z_n z_n z_n ...z_n )_p \\ x^p = (x_1 x_1 x_1 ...x_1 )_p \cdot (x_2 x_2 x_2 ...x_2 )_p \cdot (x_3 x_3 x_3 ...x_3 )_p ..... \cdot (x_m x_m x_m ...x_m )_p \\ \end{array}$
Полученные значения $z^p$ и $x^p$ подставим в равенства (4) и (5)
$\begin{array}{l} 2 \cdot (z_1 z_1 z_1 ...z_1 )_p \cdot (z_2 z_2 z_2 ...z_2 )_p \cdot (z_3 z_3 z_3 ...z_3 )_p ..... \cdot (z_n z_n z_n ...z_n )_p = [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1] \cdot d \\ 2 \cdot (x_1 x_1 x_1 ...x_1 )_p \cdot (x_2 x_2 x_2 ...x_2 )_p \cdot (x_3 x_3 x_3 ...x_3 )_p ..... \cdot (x_m x_m x_m ...x_m )_p = [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1] \cdot d \\ \end{array}$
В силу того, что числа $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1]$ и $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1]$ не имеют одинаковых простых множителей кроме двоек, а простые множители принадлежащие числу (d) они же и часть простых множителей чисел $z^p ,x^p$ повторяются в числах $z^p ,x^p$ p - раз. Это накладывает ограничения на выбор числа (d)
Каковы же могут быть значения числа (d)?
1). $d = c^{p - n_/ }$
где $c = z_1 = x_1$ отсюда $z_1 = 2 = x_1$
2). $d = c^p$
где $c = z_1 = x_1$ или $c = z_1 \cdot z_3 = x_1 \cdot x_3$
3). $d = c^p \cdot c_/^{p - m_/ }$
где $c = z_1 = x_1$ ; $c_1 = z_2 = x_2 = 2$
Разумеется в первом случае как и в последующих значения $c = z_1 = x_1$ или $c = z_1 z_3 = x_1 x_3$ и так далее я взял произвольно, это могли быть и другие значения
$c = z_2 = x_2$ и так далее.
Нас интересует общий вид числа (d)
Случай когдав в число (d) входит отдельный сомножитель двойка $\begin{array}{l} 1)d = 2 \cdot c^{p - n_/ } \\ 2)d = 2 \cdot c^p \\ 3)d = 2 \cdot c^p \cdot c_/ ^{p - m_/ } \\ \end{array}$ рассматривать не будем отдельно, в ходе проверок покажем, что множитель (2) на результат не влияет.
Что бы было более наглядно, для каждого из трёх случаев значения числа (d) построим таблицу
$\begin{array}{l} 1)\_\_\_\_\_\_\_\_\_d\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 2 \cdot z^p \_\_\_\_(z_1 z_1 ...z_1 )_{p - n'} \_\_\_\_2 \cdot (z_1 z_1 ...z_1 )_{n'} \cdot (z_2 z_2 ...z_2 )_p ... \cdot (z_n z_n ...z_n )_p \\ 2 \cdot x^p \_\_\_\_(x_1 x_1 ...x_1 )_{p - n'} \_\_\_\_2 \cdot (x_1 x_1 ...x_1 )_{n'} \cdot (x_2 x_2 ...x_2 )_p ... \cdot (x_m x_m ...x_m )_p \\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_d\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ \\ 2)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_d\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 2 \cdot z^p \_\_\_\_(z_1 z_1 ...z_1 )_p \cdot (z_3 z_3 ...z_3 )_p \_\_\_\_\_2 \cdot (z_2 z_2 ...z_2 )_p ... \cdot (z_n z_n ...z_n )_p \\ 2 \cdot x^p \_\_\_\_(x_1 x_1 ...x_1 )_p \cdot (x_3 x_3 ...x_3 )_p \_\_\_\_2 \cdot (x_2 x_2 ...x_2 )_p ...(x_m x_m ...x_m )_p \\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_d\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ \\ 3)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_d\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ 2 \cdot z^p \_\_\_\_(z_1 z_1 ...z_1 )_p \cdot (z_2 z_2 ...z_2 )_{p - m'} \_\_\_\_\_2 \cdot (z_2 z_2 ...z_2 )_{m'} ... \cdot (z_n z_n ...z_n )_p \\ 2 \cdot x^p \_\_\_\_(x_1 x_1 ...x_1 )_p \cdot (x_2 x_2 ...x_2 )_{p - m'} \_\_\_\_2 \cdot (x_2 x_2 ...x_2 )_{m'} ... \cdot (x_m x_m ...x_m )_p \\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_d\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1 \\ \end{array}$
Эти три случая охватывают в общем виде все значения числа (d) при которых в числах $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1]$ и $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1]$
при разложении их на простые множители, не будет одинаковых простых множителей кроме двоек. Мы предполагаем что это двойки.
Проверим может ли иметь число (d) эти три значения, единственно возможные, при которых (возможна) сохраняется разница между числами $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1]$ и $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1]$ равная двум
Ещё раз напомню (С) это любое целое число
$1).d = c^{p - n_/ }$
$2 \cdot z^p = [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} +1 ] \cdot c^{p - n_/ } \_\_(4)$
$\begin{array}{l} [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1] = \frac{{2 \cdot z^p }}{{c^{p - n_/ } }} = \frac{{2 \cdot z^p \cdot c^{n_/ } }}{{c^p }} \\ \frac{{z^p }}{{c^p }} = q^p \\ \end{array}$
где если $c = z_1$ то $q = (z_2 z_3 ...z_n )$
$[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} +1 ] = 2 \cdot q^p \cdot c^{n_/ }$
$d = \frac{{2 \cdot z^p }}{{2 \cdot q^p \cdot c^{n_/ } }} = \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c^{n_/ } }}$ но $d = z^p - x^p$
$\begin{array}{l} z^p - x^p = \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c^{n_/ } }}\_\_\_\_\_\_\_z^p - \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c^{n_/ } }} = x^p \\ \\ x^p = \frac{{z^p \cdot q^p \cdot c^{n_/ } - z^p }}{{q^p \cdot c^{n_/ } }} = z^p \cdot \frac{{q^p \cdot c^{n_/ } - 1}}{{q^p \cdot c^{n_/ } }} \\ \end{array}$
Разделим обе части равенства на $x^p$
$\begin{array}{l} 1 = \frac{{z^p }}{{x^p }} \cdot \frac{{q^p \cdot c^{n_/ } - 1}}{{q^p \cdot c^{n_/ } }} \\ \\ \frac{{z^p }}{{x^p }} = \frac{{q^p \cdot c^{n_/ } }}{{q^p \cdot c^{n_/ } - 1}}\_\_\_\_\_\_\_\_(6) \\ \\ d = c^{p - n_/ } \_\_\_\_\_\_[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1] = \frac{{2 \cdot x^p }}{{c^{p - n_/ } }} = \frac{{2 \cdot x^p \cdot c^{n_/ } }}{{c^p }} \\ \frac{{x^p }}{{c^p }} = v^p \\ \end{array}$
где если $c = x_1$ то $v = (x_2 x_3 ...x_m )$
$[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1] = 2 \cdot v^p \cdot c^{n_/ }$
Отметим что $q^p = c\_\_\_v^p = c$ - целые цисла
$\begin{array}{l} 2 \cdot z^p = [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1] \cdot d = 2 \cdot q^p \cdot c^{n_/ } \cdot c^{p - n_/ } \\ 2 \cdot x^p = [\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1] \cdot d = 2 \cdot v^p \cdot c^{n_/ } \cdot c^{p - n_/ } \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} z^p = q^p \cdot c^{n_/ } \cdot c^{p - n_/ } \\ x^p = v^p \cdot c^{n_/ } \cdot c^{p - n_/ } \\ \end{array}$
Значения $z^p$ и $x^p$ подставим в равенство (6)
$\begin{array}{l} \frac{{q^p \cdot c^{n_/ } \cdot c^{p - n_/ } }}{{v^p \cdot c^{n_/ } \cdot c^{p - n_/ } }} = \frac{{q^p \cdot c^{n_/ } }}{{q^p \cdot c^{n_/ } - 1}} \\ \\ \frac{{q^p \cdot c^{n_/ } }}{{v^p \cdot c^{n_/ } }} = \frac{{q^p \cdot c^{n_/ } }}{{q^p \cdot c^{n_/ } - 1}}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(6^/ ) \\ \end{array}$
Если в равенстве $(6^/ )$ две дроби равны, а тем более равны и их числители $q^p \cdot c^{n_/ } = q^p \cdot c^{n_/ }$ то должны быть равны и знаменатели то есть
$v^p \cdot c^{n_/ } = q^p \cdot c^{n_/ } - 1$ проверим
$1 = q^p \cdot c^{n_/ } - v^p \cdot c^{n_/ } = c^{n_/ } \cdot (q^p - v^p )\_\_\_\_\_\_q^p - v^p = \frac{1}{{c^{n_/ } }}$
Как выше заметили $q^p = c\_\_\_\_v^p = c\_\_\_\_c^{n_/ } = c$ - целые числа. Значит знаменатели в равенстве $(6^/ )$ не равны. $q^p > v^p$ Из целого числа вычитаем целое, а в результате получаем дробное, что невозможно.
Отметим что $q^p - v^p \ne 1$
Вывод: Число (d) не может иметь значение $d = c^{p - n_/ }$
В Случае когда $d = 2 \cdot c^{p - n_/ }$ вывод тот же, так как равенство $(6')$ примет вид
$\begin{array}{l} v^p \cdot c^{n_/ } = q^p \cdot c^{n_/ } - 2 \\ q^p - v^p = \frac{2}{{c^{n_/ } }} \\ \end{array}$
$\frac{2}{{c^{n_/ } }}$ - дробное число
2)
$\begin{array}{l} d = c^p \\ \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = \frac{{2 \cdot z^p }}{{c^p }} = 2 \cdot q^p \\ \end{array}$ (4)
где $\frac{z}{c} = q$ так как $c = z_1 \cdot z_3$
$\begin{array}{l} c^p = \frac{{2 \cdot z^p }}{{2 \cdot q^p }} = \frac{{z^p }}{{q^p }};d = \frac{{z^p }}{{q^p }};d = z^p - x^p \\ \\ z^p - x^p = \frac{{z^p }}{{q^p }};z^p - \frac{{z^p }}{{q^p }} = x^p \\ \\ x^p = \frac{{z^p \cdot q^p - z^p }}{{q^p }} = \frac{{z^p \cdot (q^p - 1)}}{{q^p }} = \frac{{z^p }}{{q^p }} \cdot (q^p - 1) = c^p \cdot (q^p - 1) \\ \\ x^p = c^p \cdot (q^p - 1);\frac{{x^p }}{{c^p }} = q^p - 1 \\ \frac{x}{c} = v \\ \end{array}$
так как $c = x_1 x_2$
$\begin{array}{l} v^p = q^p - 1 \\ q^p - v^p = 1 \\ \end{array}$
Сделав преобразование видим что разница между числами $q^p$ и $v^p$ не может равнятся еденице. Так как разница между двумя числами при показателе степени n=2
$q^2 - v^2 = (q + v) \cdot (q - v)$ больше суммы этих чисел, а при возрастании показателя степени разница увеличивается $q > 1$ ; $v > 1$
Вывод число (d) не может иметь значение $d = c^p$ . В случае когда $d = 2 \cdot c^p$ вывод тот же $q^p - v^p = 2$ . Равенство неверно.
$\begin{array}{l} d = c^p \\ \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = \frac{{2 \cdot z^p }}{{c^p }} = 2 \cdot q^p \\ \end{array}$ (4)
где $\frac{z}{c} = q$ так как $c = z_1 \cdot z_3$
$\begin{array}{l} c^p = \frac{{2 \cdot z^p }}{{2 \cdot q^p }} = \frac{{z^p }}{{q^p }};d = \frac{{z^p }}{{q^p }};d = z^p - x^p \\ z^p - x^p = \frac{{z^p }}{{q^p }};z^p - \frac{{z^p }}{{q^p }} = x^p \\ x^p = \frac{{z^p \cdot q^p - z^p }}{{q^p }} = \frac{{z^p \cdot (q^p - 1)}}{{q^p }} = \frac{{z^p }}{{q^p }} \cdot (q^p - 1) = c^p \cdot (q^p - 1) \\ x^p = c^p \cdot (q^p - 1);\frac{{x^p }}{{c^p }} = q^p - 1 \\ \frac{x}{c} = v \\ \end{array}$ так как $c = x_1 x_2$
$\begin{array}{l} v^p = q^p - 1 \\ q^p - v^p = 1 \\ \end{array}$
Сделав преобразование видим что разница между числами $q^p$ и $v^p$ не может равнятся еденице. Так как разница между двумя числами при показателе степени n=2
$q^2 - v^2 = (q + v) \cdot (q - v)$ больше суммы этих чисел, а при возрастании показателя степени разница увеличивается $q > 1$ ; $v > 1$
Вывод число (d) не может иметь значение $d = c^p$ . В случае когда $d = 2 \cdot c^p$ вывод тот же $q^p - v^p = 2$ . Равенство неверно.
3).
$\begin{array}{l} d = c^p \cdot c_/^{p - m_/ } \\ 2 \cdot z^p = \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] \cdot c^p \cdot c_/^{p - m_/ } \_\_\_(4) \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = \frac{{2 \cdot z^p }}{{c^p \cdot c_/^{p - m_/ } }} = \frac{{2 \cdot z^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{c^p \cdot c_/^p }} = \frac{{2 \cdot z^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{(c \cdot c_/ )^p }} \\ \frac{{z^p }}{{(c \cdot c_/ )^p }} = q^p ;\frac{z}{{c \cdot c_/ }} = q \\ \end{array}$
так как $c = z_1 ;c_/ = z_2$
$\begin{array}{l} \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = 2 \cdot q^p \cdot c_/^{m_/ } \\ \\ d = \frac{{2 \cdot z^p }}{{\left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right]}} = \frac{{2 \cdot z^p }}{{2 \cdot q^p \cdot c_/^{m_/ } }} = \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }} \\ \\ d = z^p - x^p \\ z^p - x^p = \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }} \\ \\ x^p = z^p - \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }} = \frac{{z^p \cdot q^p \cdot c_/^{m_/ } - z^p }}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }} = z^p \cdot \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } - 1}}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }} \\ \\ x^p = z^p \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } - 1}}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }} \\ \end{array}$
Разделим обе части равенства на $x^p$
$\begin{array}{l} 1 = \frac{{z^p }}{{x^p }} \cdot \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } - 1}}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }} \\ \\ \frac{{z^p }}{{x^p }} = \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } - 1}}\_\_\_(7) \\ \end{array}$
$\begin{array}{l} d = c^p \cdot c_/^{p - m_/ } \\ 2 \cdot x^p = \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] \cdot c^p \cdot c_/^{p - m_/ } \_\_\_(5) \\ \\ \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] = \frac{{2 \cdot x^p }}{{c^p \cdot c_/^{p - m_/ } }} = \frac{{2 \cdot x^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{c^p \cdot c_/^p }} = \frac{{2 \cdot x^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{(c \cdot c_/ )^p }} \\ \\ \frac{{x^p }}{{(c \cdot c_/ )^p }} = v^p ;\frac{x}{{c \cdot c_/ }} = v \\ \end{array}$
так как $c = x_1 ;c_/ = x_2$
$\left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] = 2 \cdot v^p \cdot c_/^{m_/ }$
Подставим данные значения $d = c^p \cdot c_/^{p - m_/ }$
и полученные
$\begin{array}{l} \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = 2 \cdot q^p \cdot c_/^{m_/ } \\ \\ \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] = 2 \cdot v^p \cdot c_/^{m_/ } \\ \end{array}$
в равенстве (4 и 5)
$\begin{array}{l} 2 \cdot z^p = 2 \cdot q^p \cdot c_/^{m_/ } \cdot c^p \cdot c_/^{p - m_/ } \_\_\_(4) \\ 2 \cdot x^p = 2 \cdot v^p \cdot c_/^{m_/ } \cdot c^p \cdot c_/^{p - m_/ } \_\_\_(5) \\ \end{array}$
Значения $(z^p )$ и $(x^p )$ подставим в равенство (7).
Имеем:
$\begin{array}{l} \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } \cdot c^p \cdot c_/^{p - m_/ } }}{{v^p \cdot c_/^{m_/ } \cdot c^p \cdot c_/^{p - m_/ } }} = \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } - 1}}\_\_\_(7^/ ) \\ \\ \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{v^p \cdot c_/^{m_/ } }} = \frac{{q^p \cdot c_/^{m_/ } }}{{q^p \cdot c_/^{m_/ } - 1}} \\ \end{array}$
Числители равны - равны и знаменатели.
$v^p \cdot c_/^{m_/ } = q^p \cdot c_/^{m_/ } - 1$ проверим так ли это

$\begin{array}{l} q^p \cdot c_/^{m_/ } - v^p \cdot c_/^{m_/ } = 1 \\ \\ c_/^{m_/ } \cdot (q^p - v^p ) = 1 \\ \end{array}$
Знаменатели не равны - один из сомножителей
$q^p - v^p > 1$

Вывод: Равенство (7) не верно, следовательно число (d) не может иметь значение $d = c^p \cdot c_/^{p - m_/ }$
В случае когда
$d = 2 \cdot c^p \cdot c_/^{p - m_/ }$
вывод тот же равенство (7) примет вид
$\begin{array}{l} c_/^{m_/ } (q^p - v^p ) = 2 \\ \\ q^p - v^p > 2 \\ \end{array}$
Общий вывод для второго частного случая (d) не может иметь значения при которых разница между числами
$\left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right]$ и $\left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1} \right]$
может быть равна двум.
При других значениях (d) разница между числами
$\left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right]$ и $\left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1} \right]$
не равна двум что невозможно.
Следовательно неверны наши предположения, что целое число (c) полученное в уравнении (4) в левой части, есть степень основания (z) при показателе степени (p), или что $z^p - d = c_/^p = x^p$
Значит уравнение $x^n + y^n = z^n$ при n>2
n-четное число $x \cdot y \cdot z \ne 0$ Не имеет решений в целых числах.

ljubarcev · 26/01/06 ∞ 302 Ростов на Дону

Апис писал(а):

Проверим может ли иметь число (d) эти три значения, единственно возможные, при которых (возможна) сохраняется разница между числами $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1]$ и $[\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1]$ равная двум
.

Уважаемый "Апис". Сложным путем Вы пришли к приведенному равенству. Посмотрите ещё раз. Очевидно, что разность между этими числами равна двум при любых целых числах $y;d;p$ .
Дед

Апис · 24/01/07 ∞ 402

Но есть же условие, которое оговорено ещё в первом разделе, числа вида $\begin{array}{l} \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] \\ \left[ {\frac{{(y^p )^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] \\ \end{array}$
должны быть целыми. Эти числа всего лишь правая часть равенства, а в левой части целое число по определению
Так что у меня вопрос, при любых целых цислах $y,d,p$ будут ли эти числа (всегда) целыми

Yarkin · 16/03/07 ∞ 823 Tashkent

Апис писал(а):

Батороев, извините я считаю что нахождение решений уравнения $x^2 + y^2 = z^2$ в целых числах полностью закончено. И говорить в дальнейшем нужно только о нахождении решений в целых числах уравнения $(x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2$
Для этого нужно в системе из двух уравнений
$\begin{gathered} 2z^n = \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{d^2 }} + 1} \right] \cdot d \hfill \\ 2x^n = \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{d^2 }} - 1} \right] \cdot d \hfill \\ \end{gathered}$
найти необходимые значения (d) при которых система не теряет смысла и достаточные для того что бы делать выводы.

$x^n, y^n, z^n$

bot · 21/12/05 5904 Новосибирск

Yarkin писал(а):

... Но использовать эти выводы для ВТФ нельзя, ибо в ее формулировке треугольника нет.

Ну нет, и не надо. Сколько уж лет прошло с тех пор, как я Вам об этом писал?
Отсутствие решений уравнения $(x^n)^2+(y^n)^2 = (z^n)^2$ - будь это решено элементарно,
ни в какой степени не приблизило бы к решению ВТФ - совершенно ясно и, разумеется, известно со времён Ферма,
что вся соль именно в нечётных (более того - простых) показателях.

Неужто до сих пор ни бельмеса не поняли?
Впрочем, вопрос риторический. Вы всё там же: "угол в формулировку подавай!"
А иначе ... см. подпись Яркина.

Апис · 24/01/07 ∞ 402

Уважаемые Yarkin, bot. Я ничего не понял из того что вы по видимому много лет обсуждаете. Давйте говорить о решении уравнений в целых числах.

Yarkin · 16/03/07 ∞ 823 Tashkent

Апис писал(а):

Впрочем, вопрос риторический. Вы всё там же: "угол в формулировку подавай!"
А иначе ... см. подпись Яркина.

Согласен.

bot писал(а):

Давйте говорить о решении уравнений в целых числах.

Мое замечание Вам непонятно?

Научный форум dxdy

Решение уравнения в целых числах

Кто сейчас на конференции