2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 00:30 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Пусть для $n \in \mathbb{N}$ число $x_n$ - корень уравнения $x = \tg( x )$ из промежутка $(\pi n; \pi (n+1))$. Докажите, что $x_n=\pi n+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{\pi n}+O(\frac{1}{n^2})$.
Рассмотрим $y_n=x_n-\pi n-\frac{\pi}{2}$. Легко видеть, что $y_n<0$ и $y_n \to 0$. Откуда такое следствие? Ведь $x_n$- корень из промежутка $(\pi n; \pi (n+1))$, вычитая $\pi n$ (из $y_n=x_n-\pi n...$) получаем какое-то число в промежутке $(0;\pi)$; Вычитаем еще $\frac{\pi}{2}$ (опять же это из формулы для $y_n$) и почему обязательно к нулю это должно стремиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 00:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
$\arctg x_n=x_n-\pi n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 00:52 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
а, ну да, а арктангенс меньше $\frac{\pi}{2}$. А не могли бы вы объяснить, пожалуйста, еще следующий переход:
$y_n+\pi n+\frac{\pi}{2}=\tg(y_n+\pi n+\frac{\pi}{2})=-\ctg(y_n)=-\frac{1}{y_n}+O(y_n)$. Это же по эквивалентности: $\tg(x) \sim x$, при $x \to 0$; а тут котангенс, следовательно, наоборот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вы уверены насчет О-большого? Эквивалентность $f(x)\sim x$ записывается в виде асимптотического равенства $f(x)=x+o(x)$. А у вас что внутри О?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 12:03 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
provincialka
Может, это не переход по эквивалентности, я собственно и обратился сюда, потому что не могу понять этот переход. А переход дословно такой: $y_n+\pi n+\frac{\pi}{2}=\tg(y_n+\pi n+\frac{\pi}{2})=-\ctg(y_n)=-\frac{1}{y_n}+O(y_n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 12:17 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
При $y\to 0$$$\ctg y = (\tg y)^{-1}= \frac{1}{y+O(y^3)}=\frac{1}{y}\cdot \frac{1}{1+O(y^2)}=\frac{1}{y}(1+O(y^2))=\frac{1}{y}+O(y)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 12:33 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Otta
Не могли бы вы объяснить этот переход $(\tg y)^{-1}= \frac{1}{y+O(y^3)}$ ? Как я понял, знаменатель получается из эквивалентностей, а почему О большое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
По формуле Тейлора. $\tg x = x + \frac13 x^3 + ...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
$\frac{\pi}2-\arctg x_n=\arcctg x_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 13:45 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Спасибо! Не могли бы вы объяснить последний переход: $\pi n+\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{y_n}+O(y_n)$(это ясно). Далее: $y_n=-\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}O({y_n}^2)$.Это тоже ясно - просто выразили игрек. Неясен следующий переход: $y_n=-\frac{1}{\pi n}+O(\frac{1}{n^2})$ . Я правильно понимаю, что мы можем пренебречь $\frac{\pi}{2}$, так как $n \to \infty$? Ну и, соответсвенно, заменить $y_n$ на $1/n^2$ по той же причине?

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 14:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
MestnyBomzh в сообщении #845690 писал(а):
$y_n=-\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{\pi n+\frac{\pi}{2}}O({y_n}^2)$

Выделите главную часть в первом слагаемом, все увидите сами. Да и везде уже пора разложить по Тейлору, что можно. Как раз $y_n=-\frac{1}{\pi n}+O(\frac{1}{n^2})$ и получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение05.04.2014, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
MestnyBomzh в сообщении #845690 писал(а):
Не могли бы вы объяснить последний переход:
Ну я же почти всё сделал! Осталось только подставить и вспомнить разложения в ряды Тейлора:
$$x_n=\pi n+\arctg x_n=\pi n+\frac{\pi}2-\arcctg x_n=$$
(пользуемся тем, что $x_n>0$)
$$=\pi n+\frac{\pi}2-\arctg\frac 1{x_n}=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{x_n}+o\left(\frac 1{x_n^2}\right)=$$
(пользуемся тем, что $x_n=\pi n+\frac{\pi}2+o(1)$)
$$=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{\pi n\left(1+\frac 1{2n}+o\left(\frac 1n\right)\right)}+o\left(\frac 1{n^2}\right)=$$ $$=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{\pi n}\left(1+O\left(\frac 1n\right)\right)+o\left(\frac 1{n^2}\right)=\pi n+\frac{\pi}2-\frac 1{\pi n}+O\left(\frac 1{n^2}\right).$$ Да и Вы практически до конца довели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Последовательность, с имеющимся корнем. Найти общую формулу
Сообщение06.04.2014, 01:31 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Someone
Спасибо большое за ответ! Задачу понял:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group