2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 14:56 


12/10/12
134
Что можно сказать о случайных величинах $ u(t_i)$: $u(t_i)=\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds}$
где v(s) случайный процесс с некоррелированными значениями и средним равным нулю.

Правильно ли я понимаю, что $Eu(t_i)=0$ и $Eu(t_i)u(t_j)=(\int_0^{t} {\exp(-0.3(t-s))v(s)ds})^2$ где $t=\min(t_i, t_j)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 17:40 


12/10/12
134
R_e_n в сообщении #845364 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что $Eu(t_i)=0$ и $Eu(t_i)u(t_j)=(\int_0^{t} {\exp(-0.3(t-s))v(s)ds})^2$ где $t=\min(t_i, t_j)$


Точнее $Eu(t_i)=0$ и $Eu(t_i)u(t_j)=\exp(-0.3|t_i-t_j|)(\int_0^{t} {\exp(-0.3(t-s))v(s)ds})^2$ где $t=\min(t_i, t_j)$

Мне надо от нее обратную посчитать каким-то образом

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
R_e_n в сообщении #845402 писал(а):
Точнее $Eu(t_i)=0$ и $Eu(t_i)u(t_j)=\exp(-0.3|t_i-t_j|)(\int_0^{t} {\exp(-0.3(t-s))v(s)ds})^2$ где $t=\min(t_i, t_j)$

Матожидание - да, а ковариация - нет, конечно. Справа у Вас вообще случайная величина стоит, а слева матожидание, т.е. число. Надо записывать оба интеграла $u(t_i), \,u(t_j)$, вносить матожидание под интеграл и смотреть, что получилось.

Рассмотрите, чтобы проще было, $\textrm{cov}(\sum_{i=1}^k a(k,\,i)\xi_i, \, \sum_{j=1}^n a(n,\,j)\xi_j)$, где $\xi_i$ независимы, имеют нулевые матожидания и конечные дисперсии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 19:19 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
R_e_n в сообщении #845364 писал(а):
Что можно сказать о случайных величинах $ u(t_i)$
Это выборки процесса на выходе линейной системы с импульсной характеристикой $h(t)=\exp(-0.3t), t\geq 0$. Если моменты $t_i$ рассматриваются такими, что имеет место стационарный режим, то математическое ожидание будет нулевым, как Вы и определили. Поскольку процесс $v(t)$ - белый шум, то корреляционная функция процесса на выходе в стационарном режиме полностью определяется свойствами системы - она пропорциональна корреляционной функции импульсной характеристики системы.

В задаче не хватает значения спектральной интенсивности процесса $v(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 19:32 


12/10/12
134
--mS-- в сообщении #845436 писал(а):
Матожидание - да, а ковариация - нет, конечно. Справа у Вас вообще случайная величина стоит, а слева матожидание, т.е. число. Надо записывать оба интеграла $u(t_i), \,u(t_j)$, вносить матожидание под интеграл и смотреть, что получилось.

Да, там перед интегралом я мат ожидание забыл.

Я рассуждал так:

Пусть $t_i<t_j$

$ Eu(t_i)u(t_j)=E((\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_0^{t_j} {\exp(-0.3(t_j-s))v(s)ds})) =$
$ =E((\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_j-s))v(s)ds} + \int_{t_i}^{t_j} {\exp(-0.3(t_j-s))v(s)ds})) =$
$ =E(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_j-s))v(s)ds}) $
$ +E(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_{t_i}^{t_j} {\exp(-0.3(t_j-s))v(s)ds}) $
Второе слагаемое равно нулю, так как корреляция нулевая. А в первом слагаемом из второго множителя вынем $\exp(-0.3(t_j-t_i))$
Получим
$Eu(t_i)u(t_j)= \exp(-0.3(t_j-t_i)) E(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})$
$Eu(t_i)u(t_j)= \exp(-0.3(t_j-t_i)) E(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})^2$

-- 04.04.2014, 20:36 --

profrotter в сообщении #845447 писал(а):
В задаче не хватает значения спектральной интенсивности процесса $v(t)$.


В задание сказано:
на вход поступает белый шум (случайный процесс с некоррелированными значениями), имеющий нулевое среднее значение.

Собственно задача: дано $u(1), u(2),.., u(10)$ Методом кригинга оценить $u(1.5), u(2.5),.., u(10.5)$

Я посмотрел, в методе кригинга значение функции в произвольной точке t ищется в виде $u(t)=\sum_{i=0}^{10} a_i \cdot u(t_i)$
Оценка коэффициентов $a=r^{T} R^{-1}$
где R - ковариационная матрица, которую я тут пытаюсь посчитать
а вектор $r=(E(u(t_1),u(t)),E(u(t_2),u(t)),...,E(u(t_{10}),u(t)))$

-- 04.04.2014, 20:48 --

--mS-- в сообщении #845436 писал(а):
Рассмотрите, чтобы проще было, $\textrm{cov}(\sum_{i=1}^k a(k,\,i)\xi_i, \, \sum_{j=1}^n a(n,\,j)\xi_j)$, где $\xi_i$ независимы, имеют нулевые матожидания и конечные дисперсии.


Пусть $k<n$

$ E(\sum_{i=1}^k a(k,i)x_i \sum_{j=1}^n a(n,j)x_j)=E(\sum_{i=1}^k a(k,i)x_i a(n,i)x_i)= $
$ =(\sum_{i=1}^k a(k,i) a(n,i) D(x_i))$

Вроде так

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
R_e_n в сообщении #845452 писал(а):
Пусть $k<n$

$ E(\sum_{i=1}^k a(k,i)x_i \sum_{j=1}^n a(n,j)x_j)=E(\sum_{i=1}^k a(k,i)x_i a(n,i)x_i)= $
$ =(\sum_{i=1}^k a(k,i) a(n,i) D(x_i))$

Вроде так

Ну так вот именно. Под сумму матожидание внесли, а под интеграл будете? И делать это следовало раньше, пока квадрат интеграла не появился. И переменные интегрирования разными буквами обозначить надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 21:08 


12/10/12
134
--mS-- в сообщении #845480 писал(а):
Под сумму матожидание внесли, а под интеграл будете? И делать это следовало раньше, пока квадрат интеграла не появился. И переменные интегрирования разными буквами обозначить надо.


Не совсем понимаю:( Так?

$ Eu(t_i)u(t_j)=E((\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_0^{t_j} {\exp(-0.3(t_j-z))v(z)dz}))=$
$ =E(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))\exp(-0.3(t_j-s))v(s)ds})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Букву $E$ под интеграл вносить будете, нет?

Вот напрасно мы не стали выяснять, почему матожидание $u(t)$ равно нулю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение04.04.2014, 21:40 


12/10/12
134
--mS-- в сообщении #845491 писал(а):
Вот напрасно мы не стали выяснять, почему матожидание $u(t)$ равно нулю...

Я предполагал, что она все обнулит:
$Eu(t_i)=E(\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})= \int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))Ev(s)ds}=0 $

В случае с суммой все понятно: я просто в голове раскрыл скобки, получил мат ожидание кучи слагаемых,
которые равны сумме мат ожиданий. Ну и там занулилось часть слагаемых. А тут через двойной интеграл?

$ Eu(t_i)u(t_j)=E((\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_0^{t_j}{\exp(-0.3(t_j-z))v(z)dz}))= $
$ =E(\int_0^{t_j} \int_0^{t_i}{\exp(-0.3(t_i-s))\exp(-0.3(t_j-z))v(s)v(z))dsdz}=$
$ =(\int_0^{t_j} \int_0^{t_i}{\exp(-0.3(t_i-s))\exp(-0.3(t_j-z))E(v(s)v(z))dsdz})=$
$ =(\int_0^{t_i}{\exp(-0.3(t_i-s))\exp(-0.3(t_j-s))D(v(s))dsdz}) $
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение05.04.2014, 02:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Так, $dz$ в конце уберите. Ну и если дисперсия постоянна, проинтегрировать можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение05.04.2014, 07:21 


12/10/12
134
--mS-- в сообщении #845585 писал(а):
Так, $dz$ в конце уберите. Ну и если дисперсия постоянна, проинтегрировать можно.



Большое спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение05.04.2014, 14:07 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
R_e_n в сообщении #845497 писал(а):
В случае с суммой все понятно: я просто в голове раскрыл скобки, получил мат ожидание кучи слагаемых,
которые равны сумме мат ожиданий. Ну и там занулилось часть слагаемых. А тут через двойной интеграл?

$ Eu(t_i)u(t_j)=E((\int_0^{t_i} {\exp(-0.3(t_i-s))v(s)ds})(\int_0^{t_j}{\exp(-0.3(t_j-z))v(z)dz}))= $
$ =E(\int_0^{t_j} \int_0^{t_i}{\exp(-0.3(t_i-s))\exp(-0.3(t_j-z))v(s)v(z))dsdz}=$
$ =(\int_0^{t_j} \int_0^{t_i}{\exp(-0.3(t_i-s))\exp(-0.3(t_j-z))E(v(s)v(z))dsdz})=$
$ =(\int_0^{t_i}{\exp(-0.3(t_i-s))\exp(-0.3(t_j-s))D(v(s))dsdz}) $
Так?
Нет не так. $E(v(s)v(z))$ отнюдь не дисперсия процесса $v(t)$, которая у белого шума бесконечна. Это его корреляционная функция. Мой вам совет открыть элементарно Вентцеля и посмотреть преобразование динамическими системами случайных процессов. Вы делаете выкладки,которые уже проделаны в любом учебнике по теории вероятностей в более общем виде.

-- Сб апр 05, 2014 15:34:43 --

profrotter в сообщении #845447 писал(а):
с импульсной характеристикой $h(t)=\exp(-0.3t), t\geq 0$.
Хотя, вот тут я наверное не прав. У вас в задаче же нет ограничения этой экспоненты при отрицательных $t$. Тогда выкладки следует, видимо, проделать. Но они аналогичны тем, что сделаны в учениках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариация случайных величин
Сообщение05.04.2014, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
В любом случае, я, конечно, не права - интеграл по $[0, t_i]\times [0,t_j]$, под которым не ноль только на диагонали, никак не сводится к одномерному интегралу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group