Функция, нули которой являются простыми числами

[maravan]

Всем доброго дня.

При изучении простых чисел наткнулся на следующую функцию, положительные нули которой являются простыми числами.

$$F(x)=\sum_{i=2}^{x-1} \frac {\sin(\pi x) (\cos(\pi x) \ctg(\frac {\pi x} {i})+\sin(\pi x))} {i} $ , $x \in \mathbb{N}$

Известна ли такая функция?
Есть ли в ней полезность?

Можно ли как-то избавиться от знака суммы?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[ИСН]

Не опускайте фраз типа "доопределим в разрывах естественным образом", и люди к Вам потянутся.
Функций таких до чёрта. Полезность - смотря для чего. Образовательная точно есть. А так вряд ли.
И ещё, в ней есть лишние детальки, и она как-то не очень работает.

[Otta]

... да, и какая-то она слишком нулевая. Где определена, кнешна.

[maravan]

ИСН в сообщении #845352 писал(а):

Не опускайте фраз типа "доопределим в разрывах естественным образом", и люди к Вам потянутся.
Функций таких до чёрта. Полезность - смотря для чего. Образовательная точно есть. А так вряд ли.
И ещё, в ней есть лишние детальки, и она как-то не очень работает.

Уважаемый ИСН!
Подскажите пожалуйста литературу по этим функциям, мне интересно, как их получали.

Почему функция не очень работает?
Вот ее график до 100.

И все-таки вопрос еще по поводу суммы, можно ли ее свернуть в другую функцию, без суммы?

[ИСН]

Я график не строил - так, на глаз показалось, что там как-то не так. Если всё так, ну ОК.
А литературу вот посмотрите: http://ega-math.narod.ru/Liv/Zagier.htm

[svv]

maravan
Проделайте эксперимент: выбросьте слагаемое (не множитель) $\sin \pi x$, оно же всё равно нулевое при $x\in\mathbb N$ (тригонометрию учили?)
Потом выбросьте знаменатель.
Потом поставьте суммирование с $1$.

[maravan]

svv в сообщении #845381 писал(а):

maravan
Проделайте эксперимент: выбросьте слагаемое (не множитель) $\sin \pi x$, оно же всё равно нулевое при $x\in\mathbb N$ (тригонометрию учили?)
Потом выбросьте знаменатель.
Потом поставьте суммирование с $1$.

svv, все повыбрасовал и упростил некоторые суммы, получилось:

$$F(x)=\sin(\pi x) \sum_{i=2}^{x-1} \ctg(\frac {\pi x} {i}) $

В точках где, $x (x\in\mathbb N)$ - не является простым числом, получается неопределенность.

[svv]

А когда Вы только слагаемое выбрасываете, что получается?

[maravan]

svv в сообщении #845426 писал(а):

А когда Вы только слагаемое выбрасываете, что получается?

svv , ход рассуждений был таков (вторая сумма выбрасывается, первая преоразуется в эквивалентную сумму, такую, что все целочисленные нули будут простые числа):

$$F(x)=\sum_{i=2}^{x-1} \frac {\sin(\pi x) (\cos(\pi x) \ctg(\frac {\pi x} {i})+\sin(\pi x))} {i}= \sum_{i=2}^{x-1} \frac {\sin(\pi x) \cos(\pi x) \ctg(\frac {\pi x} {i})} {i} + \sum_{i=2}^{x-1} \frac {(\sin(\pi x))^2} {i} $ $\sim$ $$\sin(\pi x) \sum_{i=2}^{x-1} \ctg(\frac {\pi x} {i})$, $x \in \mathbb{N}$

Если $i$ начинать с 1, то выражение получится более громоздкое, это как я вижу, может у Вас другое видение? Поделитесь.

Проверял финальную функцию в мат. пакете Mathematica, догадки (насчет эквивалентности последнего преобразования) подтвердились, все целочисленные нули - простые числа.

Мне все же интересно, может ли функция с суммой котангенса свернуться в функцию без суммы и если да, то как это сделать?

[svv]

Я имел в виду, что Вы поэкспериментируете всячески с этой функцией на компьютере, поймёте, что для чего (а что — ни для чего).

Моё видение такое. Очевидно, что математически формула некорректна, если воспринимать её, как она дана, ничего не додумывая. Об этом говорили и Otta, и ИСН, да и Вы:

maravan в сообщении #845423 писал(а):

В точках где, $x (x\in\mathbb N)$ - не является простым числом, получается неопределенность.

Конечно, $\ctg\pi x$ не определен в целых точках. Тогда что он делает в Вашей формуле, которая у Вас только для целых и записана?

Однако я пишу программу на C++, и у меня всё работает. Тут важно понимать, почему. Скажем, когда я повысил точность переменных с одинарной до двойной, график перестал строиться как надо. И тут же противоядие: снижаем точность константы pi, например, так: pi=3.1415926, и всё опять работает. Почему? Чтобы осознанно переделывать формулу, желательно понимать, что график строится только благодаря конечной точности компьютерных вещественных чисел, с абсолютной точностью сразу получаем произведение нуля ($\sin \pi n$) на неопределенность ($\ctg\frac{\pi x}{i}$).

maravan в сообщении #845519 писал(а):

Мне все же интересно, может ли функция с суммой котангенса свернуться в функцию без суммы и если да, то как это сделать?

Если переделать формулу с сохранением идеи (которую сначала надо понять), можно получить, например, первую формулу в ссылке ИСН.

[Otta]

svv в сообщении #845694 писал(а):

Конечно, $\ctg\pi x$ не определен в целых точках.

Ага, а $\sin \pi x$ там же равен нулю.

[svv]

Но Вы верите, что моему компьютеру начхать на эти академические фобии?

[Otta]

Верю, потому что знаю, почему. :) Да и Вы вполне популярно изложили.

[svv]

Вариант, не требующий «раскрытия неопределенностей при помощи арифметики с ограниченной точностью»:
$f(n)=\prod\limits_{i=2}^{n-1}\sin\frac{\pi n}{i}\;,\quad\quad n\in\mathbb N, n>2$
Здесь, наоборот, $f(n)=0$, когда $n$ составное.