2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 рамка
Сообщение28.03.2014, 17:35 


10/02/11
6786
Изображение

Рамка состоящая из четырех одинаковых стержней соединенных шарнирами $A,B,C,D$ положена на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент времени рамка имеет форму квадрата и покоится. К шарниру $A$ прикладывают силу $F$. Каково ускорение точки $A$ в первый момент движения? Стержни однородны и каждый имеет массу $m$. В шарнирах трения нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: рамка
Сообщение02.04.2014, 13:15 


10/02/11
6786
5F/(8m)

 Профиль  
                  
 
 Re: рамка
Сообщение04.04.2014, 20:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Скорость изменения кинетической энергии рамки равна мощности внешней силы:$$\dot W=Fv_A\qquad (1)$$Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий стержней и записывается в виде:$$W=4\dfrac {I\omega ^2}2+2\dfrac {mV_1^2}2+2\dfrac {mV_2^2}2\qquad (2)$$Здесь $I=\dfrac {ml^2}{12}$- момент инерции стержня относительно его центра масс, $V_1$- скорость центра масс каждого из стержней, соединенных в точке А, $V_2$- скорость центра масс каждого из стержней, соединенных в точке С, $\omega $ - угловая скорость одинаковая для всех стержней.
Центр масс рамки лежит в точке О пересечения диагоналей четырехугольника. Движение рамки за короткий отрезок времени $\Delta t$ можно представить как сумму смещения ее центра масс и смещения, связанного с деформацией рамки при неподвижном ц.м. Так смещение точки А равно: $$\Delta x_A=\Delta x_O+\Delta d$$Здесь первое слагаемое справа - смещение центра масс рамки, второе - смещение деформации. Отсюда $$v_A=v_O+\dot d$$Аналогично: $$v_C=v_O-\dot d$$Угловая скорость связана со скоростью деформации $\dot d$ $$\omega=\dfrac {\dot d}{l\cos \varphi }$$$\varphi $- это половина угла между $AB$ и $CB$.Зная $\omega ,v_A, v_C$, найдем $V_1,V_2$. Например $V_{1x}=v_A- \dfrac {\omega l}2\cos {\varphi }$ и т.д. Подставим выражения для $\omega ,V_1,V_2$ в (1), продифференцируем его еще раз по времени с учетом того, что при $t=0$$ \omega ,V_O,\dot d=0(\dot V_O=\dfrac F{4m})$ и получим $\ddot x_A=\dfrac {5F}{8m}$

 Профиль  
                  
 
 Re: рамка
Сообщение05.04.2014, 08:09 


10/02/11
6786
мой вариант
Введем неподвижную систему координат $Gxy$ так, что ось $Gx$ проходит через диагональ рамки $CA$. Через $x$ будем обозначать координату центра рамки $O$ на оси $Gx$. Это первая обобщенная координата. В качестве второй обобщенной координаты возьмем угол $\psi $ между стержнем $BA$ и диагональю $CA$.

Введем оси Кенига $O\xi\eta$; ось $O\xi$ проходит через диагональ $CA$ и сонаправлена с осью $Gx$; ось $O\eta$ проходит через диагональ $DB$. Кинетическая энергия системы вычисляется по формуле
$$T=\frac{1}{2}4m \dot x^2+T^*,$$
где $T^*$ -- кинетическая энергия системы в ее движени относительно осей $O\xi\eta$. И того: $T=2m\dot x^2+(2I+ml^2/2)\dot\psi^2$. Кроме того $\overline{GA}=(x+l\cos\psi)\overline e_x$.
Обобщенные силы: $$Q_x=\Big(\frac{\partial \overline{GA}}{\partial x},F\overline e_x\Big)=F,\quad Q_\psi=\Big(\frac{\partial \overline{GA}}{\partial \psi},F\overline e_x\Big)=-Fl\sin\psi.$

Уравнения Лагранжа:
$$4m\ddot x=F,\quad J\ddot\psi=-Fl\sin\psi,\quad J=4I+ml^2.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group