Линейные функции

[main.c]

Доказать, что для любой ненулевой линейной функции $f$ на $n$-мерном пространстве $V$ существует базис $\{ e_1, ..., e_n\}$ пространства $V$, для которого

$f(x_1e_1 + ... + x_ne_n) = x_1$

для любых коэффициентов $x_1, ..., x_n$

Фактически нам нужно найти такой базис, что:
$f(e_1) = 1$
$f(e_2) = ... = f(e_n) = 0$

Мои рассуждения.
Дополним $f$ до базиса в сопряжённом пространстве, получим систему:

$\{f, g_2, ..., g_n\}$

Найдём для неё взаимный базис $\{ e_1, ..., e_n \}$
Для него выполняется:
$f(e_1) = 1$
$f(e_2) = ... = f(e_n) = 0$

Следовательно такой базис существует, что и требовалось доказать.

[svv]

Да, правильно. Вот ещё один способ, идейно близкий к задаче из соседней темы.

Функция ненулевая — существует вектор $a: f(a)\neq 0$. Пусть $e_1=\frac 1{f(a)}a$. Тогда $f(e_1)=1$.

Возьмем произвольный вектор $x$. Построим комбинацию $x-f(x)e_1$. Чему равно значение функции $f$ на этой комбинации?
$f(x-f(x)e_1)=f(x)-f(x)f(e_1)=0$
Следовательно, $x-f(x)e_1\in \ker f$. Следовательно, любой вектор $x\in V$ есть линейная комбинация $e_1$ и некоторого вектора из $\ker f$.

(Оффтоп)

Такое разложение единственно (в противном случае получили бы $e_1\in \ker f$). Значит, $V=\langle e_1 \rangle \oplus \ker f$ — это к соседней задаче.

Но в $\ker f$ можно построить базис $e_2, ..., e_n$. Значение функции $f$ на этих базисных векторах равно нулю, а все векторы $e_1, e_2, ... , e_n$ образуют базис $V$.