2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объем, интегралы
Сообщение29.03.2014, 21:32 


05/12/11
245
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами. Попытки решения ниже

1) Найти объем тела, огранич. поверхностями $3x^2+7y^2+\frac{19}{6}=z;\;\;\;9x^2+\frac{4y^2}{9}=1;\;\;\;\;z=3$
-----------------

Гиперболический параболоид, цилиндр, плоскость

$\begin{cases}
x=3\rho\cos\varphi, \\
y=1,5\rho\sin\varphi, \\
z=z.
\end{cases}$

$V=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{1}4,5\rho d\rho \int\limits_{3}^{27\rho^2\cos^2\varphi+7\cdot(1,5)^2\rho^2\sin^2\varphi+\frac{19}{6}}dz$

Верно ли составлен интеграл? Якобиан $4,5\rho$

2) Найти объем тела, если $x^2+y^2+z^2+8x-4z\le 5$, $(x+4)^2+y^2\ge (z-2)^2;\;\;\; y-4\ge x$

Перепишем первое неравенство в виде $(x+4)^2+y^2+(z-2)^2\le 5^2$ -- сфера с центром в точке $(-4;0;2)$, радиусом $5$ и ее внутренность.

$(x+4)^2+y^2\ge (z-2)^2$ внутренность конуса с вершиной в точке $(-4;0;2)$.

$y-4\ge x $ распил плоскостью трехмерного пространства на 2 части, одна из которых нас интересует.

Есть идея перейти к сферическим координатам

$\begin{cases}
x+4=r\sin\theta\cos\varphi, \\
y=r\sin\theta\sin\varphi, \\
z-2=r\cos\theta.
\end{cases}$

$|J|=r^2\sin\theta$

$V=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}d\varphi \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta d\theta \int\limits_{0}^{5}r^2dr$

Можно учесть $y-4\ge x $ как $\sin\varphi \ge \cos\varphi $, то есть $\frac{\pi}{4}\le \varphi \le \frac{5\pi}{4}$?

Нарисовать не получается, эта плоскость все портит(

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение29.03.2014, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Первое задание:
lampard в сообщении #842827 писал(а):
Гиперболический параболоид
Нет, не гиперболический. Из каких соображений выбрали коэффициенты 3 и 1,5? Похоже, что из разных :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение29.03.2014, 22:17 


05/12/11
245
provincialka в сообщении #842831 писал(а):
Первое задание:
lampard в сообщении #842827 писал(а):
Гиперболический параболоид
Нет, не гиперболический. Из каких соображений выбрали коэффициенты 3 и 1,5? Похоже, что из разных :D

Спасибо. ТОчно, Эллиптический параболоид. Ой, там $1/3$, а остальное -- верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение29.03.2014, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вроде верно.
Во втором задании вы не учли, что конус имеет две половины, соединенные в вершине. В принципе, плоскость $x+4=y$ делит вашу фигуру на 2 равные части. Вместо этого можно было бы взять просто верхнюю часть конуса: ответ будет тот же. Но не будет показано хорошее владение сферической системой координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение30.03.2014, 01:09 


05/12/11
245
provincialka в сообщении #842903 писал(а):
Вроде верно.
Во втором задании вы не учли, что конус имеет две половины, соединенные в вершине. В принципе, плоскость $x+4=y$ делит вашу фигуру на 2 равные части. Вместо этого можно было бы взять просто верхнюю часть конуса: ответ будет тот же. Но не будет показано хорошее владение сферической системой координат.

Действительно, забыл про нижнюю часть

Условие $(x+4)^2+y^2\ge (z-2)^2$ будет выглядеть так $\sin^2\theta\le \cos^2\theta$ значит $\theta\in [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{4}]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение30.03.2014, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Просто умножьте на 2, в силу симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение30.03.2014, 01:12 


05/12/11
245
provincialka в сообщении #842947 писал(а):
Просто умножьте на 2, в силу симметрии.

Спасибо, а остальное -- верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение30.03.2014, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Насколько я могу судить в 2 часа ночи ... Впрочем, присмотритесь к значениям $\theta$. Вы взяли замену, в которой широта отсчитывается от полюса. Я, честно говоря, предпочитаю считать от экватора. В любом случае значения этого угла не могут быть больше, чем $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение30.03.2014, 13:53 


05/12/11
245
Спасибо! Тогда $\theta\in [\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]\cup  [-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}] $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем, интегралы
Сообщение30.03.2014, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
lampard в сообщении #843069 писал(а):
Тогда

Это когда? Вы сохраняете свой вариант сферических координат или нет? Давайте дальше сами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group