2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 14:28 


13/04/12
60
Lviv
Продаются 5 сортов пирожных. Покупатель покупает 4 пирожных. Считая, что любой набор пирожных равновероятный, найти вероятность того, что два пирожных будут одного сорта, а два - другого.

Я понимаю, что всех возможностей выбрать 4 пирожных из 5 сортов, есть сочетания с повторениями из 5 по 4: $\bar{C}_5^4=C_8^4=\frac{8!}{4!4!}=70$ (это есть число всех возможных исходов).

Как посчитать число благоприятных исходов? Если бы нужно было выбрать два пирожных разных сортов, то это было бы $C_5^2=10$. Но здесь пирожных нужно взять 4, а сортов должно быть только два, причем 3 пирожных одного сорта, а одно - другого - не благоприятный исход (кстати, а как найти вероятность, что три пирожных одного сорта, а одно другого?).

Может, кто-то может навести примеры аналогичных задач с решением в интернете? Или еще как то подсказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
amoral10 в сообщении #840969 писал(а):
Если бы нужно было выбрать два пирожных разных сортов, то это было бы $C_5^2=10$.
Вот и хорошо. На бумажках записываете все 10 вариантов, тянете жребий, а потом покупаете те пирожные, которые указаны на бумажке, но только по 2 экземпляра. А по "3 + 1" - не покупаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятности. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 14:53 


13/04/12
60
Lviv
То есть, число вариантов $2C_5^2$? ок, а как в таком случае посчитать вероятность "3+1"?
В идеале, конечно, было бы круто узнать, как можна записать общую формулу, когда нужно из 5 сортов выбрать, например, $n$ пирожных так, чтобы $k$ - одного сорта, а $n-k$ - другого. Я вот этого не могу понять. Потому что вероятность для "2+2" из 5 я подсчитал, выписав все варианты на листике бумаги, а вот общий ключ к такой задаче не могу подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Так, а зачем вы на 2 умножали? Это (умножать) как раз для "3 + 1" нужно, так как "3 эклера и 1 безе" не то же, что "1 эклер и 3 безе". А вот "2 эклера и 2 безе" совершенно то же, что "2 безе и 2 эклера"

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 15:34 


11/03/14
72
Поправьте меня...Но можно ли в такой задаче рассуждать вот так по дилетантски?
Допустим, что у нас есть урна, в которой лежит N пирожных(пусть 50...По k=10 каждого сорта, чтобы равновероятно было). Мы достаем 4. Какова вероятность, что 2 из них будут одного, а 2 - другого. Я думаю, что если записать все формулы, то там N=50 и k=10 сократятся...Я бы даже сказал, что я просто уверен в этом. Но ТерВер помню уже плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Первая поправка: формулы надо оформлять с помощью $\TeX$.
Ответ: нет, не сократится. Например, будем брать пирожные по-очереди, сорта обозначим по номеру появления. Первое пирожное - некоторое с вероятностью 1. Далее могут быть варианты $(1, 2, 2)$, $(2, 1, 2)$, $(2, 2, 1)$.
Рассчитаем вероятность первого. Она равна $1\cdot\frac{9}{49}\cdot\frac{40}{48}\cdot\frac{9}{47}$. Две другие вероятности будут такими же. Итак, вероятность события "2 + 2" равна $\frac{405}{4606}\approx 0,088$.
При больших $n$ вероятность будет стремиться к $\frac{12}{125}$. Кстати, ваша задача даже в предельном случае не равносильна исходной (так как варианты наборов у вас не будут равновероятны)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Конечно абсолютно точно они не сократятся, но чем больше $N=5k$, тем ответ для любого небольшого по размеру сочетания будет ближе к некоторому предельному значению, когда вероятность достать из корзины определённый вид пирожного будет постоянна и равна $1/5$.

Упс. поспешил отправить. А то ли сказал? В задаче слова: "любой набор пирожных будет равновероятен". Это немного нехорошо. Если все пирожные, например, имеют уникальный номер, то хорошо, а если пирожные одного сорта неразличимы, то это вообще невыполнимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 15:59 


13/04/12
60
Lviv
мне кажется, что задача, предложенная toliktkm будет равносильна исходной, если условится, что после каждого вынимания шара, мы будем фиксировать его цвет (прывычнее говорить о шарах разных цветов в урне), а потом класть обратно. Я даже уверен в этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Расчет показывает обратное. В вашем варианте событие "2 + 2" имеет вероятность $\frac17$, а в варианте toliktkm - $\frac{12}{125}$. Еще один случай: все шары одного цвета - вероятность $5\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{125}$. Все пирожные одного сорта - вероятность $\frac{5}{70}=\frac{1}{14}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Можно, кстати, создать и авторскую ситуацию. Предположим, что пирожные продаются упакованными по 4 штуки, так, что равночисленно представлены все наборы.
Ну, например, если в корзине поровну красных и белых шаров, то вероятность взять два разноцветных будет близка к половинке. А вот если шары упакованы в пары так, чтобы все (неупорядоченные) варианты КК, КБ, ББ были равновероятны, то ответ будет иным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 16:43 


13/04/12
60
Lviv
К provincialka: вероятность зафиксировать четыре шара одного цвета, та же, что и взять 4 пирожных одного сорта, так как число всех элементарных событитий этого эксперимента равно числу сочетаний с повторениями из 5 по 4 (поскольку есть 5 разных цветов): $\bar{C}_5^4=70$. Возможностей выбрать один цвет $C_5^1=5$. Таким образом, вероятность, что все четыре шара одного цвета:
$\frac{5}{70}=\frac{1}{14}$

Задачу о шарах можна даже еще упростить: в урне 5 шаров разного цвета. четыре раза вынимают шар, фиксируют его цвет, и кладут обратно. Какая вероятность зафиксировать три шара одного цвета, и один другого? (или два шара одного цвета, а два другого?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
amoral10, нет, ваше рассуждение неверно. Хотя вариантов и 70, но в задаче о шарах они не равновероятны.
Я даже на всякий случай провела численный эксперимент. И действительно, все "шары" одного цвета получаются примерно в $\frac{1}{125}$ доле случаев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение26.03.2014, 21:53 


13/04/12
60
Lviv
А, ну да, я уже понял разницу между задачами о шарах и пирожных. Задачу о пирожных можно перефразировать в терминах шаров как: есть шары пяти цветов. выбирают 4 шара. Считая, что любые наборы шаров равновероятны, найти вероятность, что будет три шара одного цвета, а один - другого. (или, два шара одного цвета, и два - другого)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение27.03.2014, 07:02 


11/03/14
72

(Оффтоп)

Вот за что я люблю математиков. Думал, что меня за такое трактование задачи закидают тухлыми помидорами...А тут вот прям серьёзно так отнеслись и на ошибки все указали...Прям человеком себя чувствуешь...

Ну и раз уж тут такие люди добрые...
А если перефразировать задачу так.
У нас есть четырёхзначное число вида abcd. Каждая из букв может принимать значения от 1 до 5. Надо найти отношение количества чисел вида mmnn, mnmn и mnnm к общему числу возможных комбинаций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей. Задача о пирожных
Сообщение27.03.2014, 08:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
А это совсем другая задача. В ней число равновозможных вариантов, если (как подразумевается обычно по умолчанию) каждая буква выбирается с равными шансами от 1 до 5 независимо от прочих, будет $5^4$, а не $C_8^4$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group