2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Геометрическая вероятность
Сообщение24.03.2014, 21:14 


20/03/14
4
Здравствуйте, не могли бы помочь?
Есть задача: На единичной окружности ($x^2 + y^2 = 1$) выбирается случайная точка $P$(из равномерного распределения). в единичном круге ($x^2 + y^2 <= 1$) выбирается случайная точка $Q$(также из равномерного). Пусть $R$ - прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат и диагональю $PQ$. Какова вероятность того, что весь прямоугольник лежит в круге.
У меня рассуждения такие, возьмем точку $(x,y)$ на четверти окружности $(x > 0,y > 0)$, тогда вероятность того, что весь прямоугольник лежит в круге равна $\frac{4 x y}{\pi}$, дальше как я понимаю нужно воспользоваться формулой полной вероятности, но я знаю формулу только для конечных наборов событий, интуитивно понятно, что нужно проинтегрировать, но как?(в интернете не нашел)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение25.03.2014, 07:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
jorki в сообщении #840379 писал(а):
У меня рассуждения такие, возьмем точку (x,y) на четверти окружности(x > 0,y > 0), тогда вероятность того, что весь прямоугольник лежит в круге равна 4xy/Pi, дальше как я понимаю нужно воспользоваться формулой полной вероятности, но я знаю формулу только для конечных наборов событий, интуитивно понятно, что нужно проинтегрировать, но как?(в интернете не нашел)

$x=\cos(\omega)$
$y=\sin(\omega)$
Интегрируйте по $\omega$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.03.2014, 08:20 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

jorki
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.03.2014, 13:38 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение25.03.2014, 13:53 


20/03/14
4
$\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac {4 |\sin w| |\cos w|}{\pi} dw$ интегрируя получаю $\frac{8}{\pi}$, что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение25.03.2014, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
jorki в сообщении #840563 писал(а):
$\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac {4 |\sin w| |\cos w|}{\pi} dw$ интегрируя получаю $\frac{8}{\pi}$, что не так?
Вместо $dw$ надо писать $\frac{dw}{2\pi}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение25.03.2014, 14:08 


20/03/14
4
ясно, то есть мы берем небольшой элемент дуги ищем вероятность попадания в этот элемент, после умножаем на условную вероятность? спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение07.03.2021, 14:57 
Аватара пользователя


04/03/21
24
Извините, тема старая, но все же не понятно :facepalm: почему $4xy/\pi$? У нас же две точки $P$ и $Q$. Какие имеются в виду $x$ и $y$? Даже рисунок сделал..
Цитата:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение07.03.2021, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
При заданной точке $P$ точка $Q$ должна лежать в прямоугольнике, вписанном в окружность, с вершиной в точке $P$, стороны которого параллельны координатным осям. Так и получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение07.03.2021, 16:14 


20/03/14
12041
 !  Gyros
Оформляйте формулы по Правилам самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение08.03.2021, 18:10 
Аватара пользователя


04/03/21
24
Понял о каком прямоугольнике идет речь. Если $Q$ принадлежит этой прямоугольной области, то прямоугольник с диагональю $PQ$ полностью содержится в круге (пусть это будет событие $A$ ).

(Оффтоп)

Изображение

Теперь мы имеем плотность вероятности $\frac{4xy}{\pi}$. Надо взять двойной интеграл по этой области (как будто мы ищем массу этой прямоугольной пластинки с плотностью $\frac{4xy}{\pi}$ ).
Т.е. $P(A)=\iint\limits_{}^{}\frac{4xy}{\pi} dxdy$.
Вот тут два момента не ясны:
1) модули у $\sin(\omega)$ и $\cos(\omega)$ как-то нелогично появляются (ну типа чтобы ноль не получить);
2) почему надо делить на $2\pi$, исходя из чего (как будто подгоняем к ответу)?
Надо в этом двойном интеграле обязательно переходить к полярной системе координат, т.к. в декартовой мы проинтегрировать не сможем, т.к. у нас границы области меняются (не константы).

Потом, топикстартер писал:
Цитата:
то есть мы берем небольшой элемент дуги ищем вероятность попадания в этот элемент, после умножаем на условную вероятность?

из чего мне кажется что он не понял решения (откуда тут условная вероятность?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение08.03.2021, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Gyros в сообщении #1508349 писал(а):
модули у $\sin(\omega)$ и $\cos(\omega)$ как-то нелогично появляются (ну типа чтобы ноль не получить)
Точка $P$ же не обязательно с положительными координатами, она может быть на месте того, что у Вас обозначено $K$ или $M$. Тогда, чтобы найти (положительную) площадь прямоугольника, надо брать какую-то из координат с обратным знаком, так и выходит модуль.
Gyros в сообщении #1508349 писал(а):
почему надо делить на $2\pi$, исходя из чего (как будто подгоняем к ответу)?
Потому что берем интеграл по углу $dw$, а полный угол $2\pi$. Надо делить на длину отрезка, чтобы получить плотность равномерного распределения.
Gyros в сообщении #1508349 писал(а):
откуда тут условная вероятность?)
В том смысле, что вероятность попадания $Q$ в прямоугольник берется при условии, что $P$ известна (строго говоря, принадлежит малому элементу дуги).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение09.03.2021, 16:36 
Аватара пользователя


04/03/21
24
А как это облечь в формулу полной вероятности?
Пусть $A$ - событие, что точка $Q$ попадает в прямоугольную область;
событие $B$ - точка $P$ лежит на окружности.
Тогда по формуле полной вероятности $P(AB)=P(A|B)\cdot P(B)$, где
$P(A|B)=\frac{4 \cdot |x| \cdot |y|}{\pi}$,
$P(B)=\frac{d\omega}{2\pi}$.
Далее интегрируем это произведение по прямоугольной области.
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение09.03.2021, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Во-первых, $B$ - не просто что лежит на окружности, а что попадает в конкретную малую дугу $dw$ (дифференциал дуги). Во-вторых, формула полной вероятности не так пишется. Обычно она в виде суммы, но здесь сумма переходит в интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая вероятность
Сообщение10.03.2021, 10:01 
Аватара пользователя


04/03/21
24
То есть искомая вероятность равна:

$P(AB)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(AB_i) = \sum\limits_{i=1}^{n}P(A|B_i)\cdot P(B_i) =\lim\limits_{\max\Delta\omega_i\to 0}^{} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{4 \cdot |\sin \omega| \cdot |\cos \omega |}{\pi}  \frac{\Delta\omega_i}{2\pi}=\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{4 \cdot |\sin \omega| \cdot |\cos \omega |}{\pi} \cdot \frac{d \omega}{2\pi}=\frac{4}{\pi^2}$

где $B_i$ - событие, что точка P лежит на элементе дуги $\Delta\omega_i$,
$A$ - событие, что точка $Q$ попадает в прямоугольную область;
Корректно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group