Задача об степени заполнения

[eugrita]

Задача расчета максимального процента заполнения плоской фигуры кругами $r$ или объемной фигуры-сферами $r$
Родственная задача - об оптимальном покрытии кругами прямоугольника и круга$R$ уже обсуждалась мной здесь http://dxdy.ru/topic70845.html
Анализ стандартных схем заполнения приводит к типовым случаям касания 3 или 4 окружностей (см. задачник по геометрии, Киселев) приводятся случаи касания 4 окружностей и к т.н Q-решеткам и Т-решеткам.
Ставилась задача об расчете предельной степени заполнения $ \delta=\frac{S_{kr}}{S} $стандартных фигур маленькими кругами при $ \lambda =\frac{R}{r} \to\infty$. для круга или $\lambda_1 =\frac{B}{b},\lambda_2 =\frac{H}{h} \to\infty $ для прямоугольника.
Так,несложно доказать, что для прямоугольника предельное заполнение
а)для Q-решетки $\delta=\frac{\pi}{4}=0.785$ и
б) для T-решетки. $\delta=\frac{\pi\sqrt{3}}{6}=0.907$
т.е предельная степень заполнения при касании по тройкам(центры-Т решетка) выше чем при попарном рядами (центры - Q-решетка)
В случае заполняемой области- круга известна т.н. проблема круга Гаусса.-определения количества точек целочисленной решётки. Согласно ей тогда количество целочисленных точек круга $N(R)=\pi R^2+E(R)$ (1)
где $E(R) $ имеет асимптотику ниже линейной.
------------------------------------------------------------------------------------------
1)Предлагаю вынести на олимпиаду задачи получения асимптотических оценок доли заполнения круга кругами при $ \frac{R}{r} \to\infty$ и/или цилиндра сферами при $ \frac{R}{r} \to\infty$$ \frac{H}{r} \to\infty$
(Видимо ввиду предполагаемой сложности проблемы Гаусса) стоит в пояснении к задаче дать на нее ссылку и возможность использования без доказательства полученного в истории математики результата- ф-лу(1))
2)Верно ли что для заполняемой области круг асимптотическая оценка доли заполнения $\delta=\frac{N(R)\pi}{\pi R^2}=\frac{\pi}{4}$
3)Имеет ли практический смысл более подробное исследование задачи- написание программы-функций расчета степени заполнения круга и прямоугольника кругами, цилиндра и параллелепипеда сферами?
4)Верна ли гипотеза что предельное заполнение кругами любой плоской области с радиусами кривизны границы $Rкр >> r$ по Q-решетке так же равно $\frac{\pi}{4}=0.785$ ???

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не сформулирован предмет обсуждения.

eugrita
Сформулируйте предмет для обсуждения. Приведите явную формулировку задачи и поставьте вопрос.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена

Вернул

Для 3-хмерного случая для начала можно познакомиться с гипотезой Кеплера