Вопрос по разложению Маклорена от 2-ух переменных

[Otta]

Ssheh в сообщении #838014 писал(а):

2)И если я правильно понял, что от меня требуют, то там получится именно то , что я присылал( только там о малое, извините не заметил(хотя и откуда там взятся О большому, если я расписал, что я применяю разложение по Тейлору?))

В разложении по Тейлору бывают и о малые и о большие. Разные, правда.
А вот отрицательных степеней там нет.

Ssheh в сообщении #838014 писал(а):

оно мне не годится для разложения до 2-го порядка?)(

Еще раз: выражение "до второго порядка" не употребляется в таком контексте. Оно здесь бессмысленно.
Вот у Вас там стоит слагаемое вида $x/y$ - оно о малое от чего?

Даже не так. Вы в Ваше разложение не вписали, в частности, слагаемое $\frac{x^5}{5! y}$, а оно там, в принципе, есть. Что, оно тоже войдет в $o(r^2)$?

[Ssheh]

Otta в сообщении #838022 писал(а):

Еще раз: выражение "до второго порядка" не употребляется в таком контексте. Оно здесь бессмысленно.
Вот у Вас там стоит слагаемое вида $x/y$ - оно о малое от чего?

1)Да почему же нельзя называть до 2-го порядка? $o(p^{2})$ разве не говорит о 2-м порядке?
2)И я немножко не понял, что значит "о малое от чего?", о малое- содержит остаточные члены, которые не вошли в ряд(это, как я это понимаю)
3)И опять же, я прошу вас, пожалуйста, ответить мне ближе к заданию, я могу так разложить и верно ли я написал в 4п.:

Ssheh в сообщении #838014 писал(а):

4) И еще, если все-таки разложение корректно, то дальше мне надо слагаемые(те которые без $\frac{1}{y}$) подставлять в формулу Тейлора?(т.е, как вы в предыдущих сообщениях объясняли домножить, то что у меня сейчас есть на y , подставить в формулу Тейлора$\sum^{m}_{k=0}\frac{1}{k!}\sum^{k}_{i=0}C^{i}_k \frac{d^{k}f(x_0;y_0)}{dx^{k-i}dy^{i}}(x-x_0)^{k-i}(y-y_0)^{i} + o(p^{m})$, и опять поделить?)

?

[Otta]

Ssheh в сообщении #838026 писал(а):

И я немножко не понял, что значит "о малое от чего?", о малое- содержит остаточные члены, которые не вошли в ряд(это, как я это понимаю)

Неправильно понимаете. Разберитесь тщательно с этим вопросом, будьте добры. Это как раз важно, а ваша задача - нет.
И не путайте уже ряды с конечными суммами.

[Ssheh]

Otta в сообщении #838030 писал(а):

Ssheh в сообщении #838026 писал(а):

И я немножко не понял, что значит "о малое от чего?", о малое- содержит остаточные члены, которые не вошли в ряд(это, как я это понимаю)

Неправильно понимаете. Разберитесь тщательно с этим вопросом, будьте добры. Это как раз важно, а ваша задача - нет.
И не путайте уже ряды с конечными суммами.

1)Хм, да, как-то я не то сказал...о малое-это бесконечно малая относительно(какой-либо функции). Но все же какое оно имеет отношение к слагаемому $x/y$?
2)Хорошо бы если бы было так, но, к сожалению, мне надо сдавать контрольную работу, в которой этот самый номер...

[Otta]

Вы таки прочитайте выше, я потом уточняла:

Otta в сообщении #838022 писал(а):

Вот у Вас там стоит слагаемое вида $x/y$ - оно о малое от чего?

Даже не так. Вы в Ваше разложение не вписали, в частности, слагаемое $\frac{x^5}{5! y}$, а оно там, в принципе, есть. Что, оно тоже войдет в $o(r^2)$?

-- 18.03.2014, 02:20 --

Ssheh в сообщении #838040 писал(а):

Хорошо бы если бы было так, но, к сожалению, мне надо сдавать контрольную работу, в которой этот самый номер...

Если бы мне в контрольной попалось такое задание,

Ssheh в сообщении #837261 писал(а):

Дана функция $f(x,y)=\frac{\sin x}{\sin y}$, $M=(0;0)$. Мне нужно ее разложить до 2-го порядка в окрестности точки М.

(по формуле Маклорена), я бы написала, почему это сделать невозможно с полным обоснованием. Это было бы абсолютно верным и полным решением.

Если Вы считаете необходимым, тем не менее, непременно делать то, что Вам предлагают, - хотя нужды в этом нет, - Вы можете попробовать так, как предлагалось, и даже записать Вашу функцию в виде $f(x,y)=R(x,y)+o(r^2)$, но число слагаемых в $R$ будет бесконечным.

Повторюсь, умножьте на $y$ (с тем, чтобы потом разделить), или делайте так, как Вам предложено, сразу вынеся $1/y$, числитель не трогайте, остальное разложите по $y$, скажем, до второй степени, получится сумма по $y$ c к-тами, зависящими от $x$, а вот после этого раскладывайте эти коэффициенты. Где-то разложение будет содержать бесконечное число слагаемых, где-то оставьте только те, чтобы полученное было $o(r^2)$.

Разложением до второго порядка это назвать все равно будет проблематично, поскольку в обычном тейлоровском разложении до $n$-го порядка присутствуют все порядки, начиная с первого и заканчивая $n$-м, по возрастанию. А какой порядок имеет, например, все тот же $x/y$?

(Оффтоп)

Мое мнение по поводу задания осталось прежним.

[Ssheh]

Otta в сообщении #838042 писал(а):

Даже не так. Вы в Ваше разложение не вписали, в частности, слагаемое $\frac{x^5}{5! y}$, а оно там, в принципе, есть. Что, оно тоже войдет в $o(r^2)$?

По идее оно там будет, но мы его не включаем, т.к нам нужно до определенного $r^{2}$(в данном случае)

Otta в сообщении #838042 писал(а):

Если Вы считаете необходимым, тем не менее, непременно делать то, что Вам предлагают, - хотя нужды в этом нет, - Вы можете попробовать так, как предлагалось, и даже записать Вашу функцию в виде $f(x,y)=R(x,y)+o(r^2)$, но число слагаемых в $R$ будет бесконечным.

Повторюсь, умножьте на $y$ (с тем, чтобы потом разделить), или делайте так, как Вам предложено, сразу вынеся $1/y$, числитель не трогайте, остальное разложите по $y$, скажем, до второй степени, получится сумма по $y$ c к-тами, зависящими от $x$, а вот после этого раскладывайте эти коэффициенты. Где-то разложение будет содержать бесконечное число слагаемых, где-то оставьте только те, чтобы полученное было $o(r^2)$.

Разложением до второго порядка это назвать все равно будет проблематично, поскольку в обычном тейлоровском разложении до $n$-го порядка присутствуют все порядки, начиная с первого и заканчивая $n$-м, по возрастанию. А какой порядок имеет, например, все тот же $x/y$?

Спасибо вам огромное, что вы мне помогаете, но я за последние 4 сообщения так и не узнал, на у я домножить то домножу(и поделить не забуду), а в остальном разложение верное?(по Тейлору) и опять же про пункт 4, если оно верно,то его подставлять уже в формулу Тейлора?
Если же это не так, то не могли бы вы объяснить, какое разложение вы подразумеваете здесь: $f(x,y)=R(x,y)$?

[Otta]

Ssheh в сообщении #838057 писал(а):

Спасибо вам огромное, что вы мне помогаете, но я за последние 4 сообщения так и не узнал, на у я домножить то домножу(и поделить не забуду), а в остальном разложение верное?

В чем - в остальном? тут половина дела - узнать, какое нужно о малое и что туда не войдет.
Так вот об этом я Вам последние богужезнаетсколько постов талдычу:
можете Вы сказать, например, почему $\frac{x^5}{y}=o(r^2)$, как Вы уверяете.
Как только Вы с этим разберетесь, Вам, возможно, полегчает.

А пока - нет, неверное. Именно из-за небрежности с бесконечно малыми.

[Ssheh]

Otta в сообщении #838064 писал(а):

В чем - в остальном? тут половина дела - узнать, какое нужно о малое и что туда не войдет.
Так вот об этом я Вам последние богужезнаетсколько постов талдычу:
можете Вы сказать, например, почему $\frac{x^5}{y}=o(r^2)$, как Вы уверяете.
Как только Вы с этим разберетесь, Вам, возможно, полегчает.

А пока - нет, неверное. Именно из-за небрежности с бесконечно малыми.

Похоже мы друг друга не можем понять. Я говорю, что до $o(r^2)$ слагаемое $\frac{x^5}{y}$ не войдет, т.к оно 5 степени(учитывая то, что мы домножили на y)
А все что войдет я уже расписал выше, только, как я понял уже $\frac{x^{3}}{6y}$ не войдет в это разложение, т.к оно 3-ей степени(при домножении на y).
То, что я выпытываю у вас последние несколько часов-это мне сейчас это разложение прогонять по Формуле Тейлора, а после поделить на у(учитывая, что ранее мы домножали)?

[Otta]

Нет, это Вы не понимаете. Я Вас понимаю достаточно, чтобы видеть, что Вы не понимаете, что $x^5/y$ не является $o(r^2)$. Оно даже $o(1)$ не является при $(x,y)\to 0$. А пока Вы этого не поняли, дальше двигаться рано. Вот мы и сидим на месте.

[Ssheh]

Otta в сообщении #838068 писал(а):

Нет, это Вы не понимаете. Я Вас понимаю достаточно, чтобы видеть, что Вы не понимаете, что $x^5/y$ не является $o(r^2)$. Оно даже $o(1)$ не является при $(x,y)\to 0$. А пока Вы этого не поняли, дальше двигаться рано. Вот мы и сидим на месте.

Да, скорее всего вы ждете, чтобы я сказал, что оно будет элементом $o(r^5)$, а $o(r^2)$ не будет, но я честно не знаю почему, я это определяю чисто по степеням и, учитывая, что мне завтра к утру надо решить эту задачу, я думаю, хорошо бы хотя бы до какого-нибудь логического завершения это довести.

[Otta]

Ssheh в сообщении #838069 писал(а):

что оно будет элементом $o(r^5)$

Бог с Вами, я же прямым текстом говорю, что оно вообще к нулю не стремится, а Вы хотите чтобы оно стремилось так быстро?

Решайте, что Вам мешает.
Как - я уже написала. Может, Вы не прочитали, еще раз:

Otta в сообщении #838042 писал(а):

Повторюсь, умножьте на $y$ (с тем, чтобы потом разделить), или делайте так, как Вам предложено, сразу вынеся $1/y$, числитель не трогайте, остальное разложите по $y$, скажем, до второй степени, получится сумма по $y$ c к-тами, зависящими от $x$, а вот после этого раскладывайте эти коэффициенты. Где-то разложение будет содержать бесконечное число слагаемых, где-то оставьте только те, чтобы полученное было $o(r^2)$.

[Ssheh]

Решайте, что Вам мешает.
Как - я уже написала. Может, Вы не прочитали, еще раз:[/quote]

Т.е получается такое: $f(x,y)=\frac{1}{y}({x}+ \frac{xy^{2}}{6} - \frac{x^{3}}{6}) + 0(p^{2})$ и мне $({x}+ \frac{xy^{2}}{6} - \frac{x^{3}}{6})$ подставлять в $\sum^{m}_{k=0}\frac{1}{k!}\sum^{k}_{i=0}C^{i}_k \frac{d^{k}f(x_0;y_0)}{dx^{k-i}dy^{i}}(x-x_0)^{k-i}(y-y_0)^{i} + o(p^{m})$?

Otta в сообщении #838070 писал(а):

Бог с Вами, я же прямым текстом говорю, что оно вообще к нулю не стремится, а Вы хотите чтобы оно стремилось так быстро?

Т.е вы утверждаете, что если я захочу разложить до $o(r^5)$, то у меня там никак не получится слагаемого $\frac{x^5}{y}$? Но ведь оно подойдет по степени и вполне впишется туда?

[Otta]

Так. По порядку. Я вижу, слов Вы не понимаете.

в сообщении #838057 писал(а):

делайте так, как Вам предложено, сразу вынеся $1/y$, числитель не трогайте, остальное разложите по $y$, скажем, до второй степени, получится сумма по $y$ c к-тами, зависящими от $x$,

Делаем. Разложить по $y$ - это значит $x$ фиксировано (воспринимать как константу), раскладываем по $y$ до второй степени. Напишите, что получается.

-- 18.03.2014, 04:36 --

Ssheh в сообщении #838073 писал(а):

Т.е вы утверждаете, что если я захочу разложить до $o(r^5)$, то у меня там никак не получится слагаемого $\frac{x^5}{y}$? Но ведь оно подойдет по степени и вполне впишется туда?

Причем тут степень? Что такое о малое от некоей функции?

Я утверждаю, что оно получится, даже если Вы будете раскладывать до $o(1)$.

[Ssheh]

Otta в сообщении #838074 писал(а):

Делаем. Разложить по $y$ - это значит $x$ фиксировано (воспринимать как константу), раскладываем по $y$ до второй степени. Напишите, что получается.

$f(x;y)=\frac{\sin x}{y+\fraq{y^3}{6}+o(r^3)}$?

[Otta]

Да, только $1/y$ вынесите, разложение внизу напишите правильно и продолжаем дальше раскладывать по $y$.