Размерность пространства.

[main.c]

Пусть $\alpha$ - комплексный корень многочлена $p \in Q[x]$, неприводимого над $Q$. Найти размерность над полем $Q$ пространства $Q(a)$, состоящего из чисел вида $f(a)$, где $f\in Q[x]$.

Пространства $Q[x] \text{ и } Q(\alpha)$ изоморфны, следовательно их размерность совпадает, а значит размерность $Q(a)$ счётна. А в ответе размерность равна степени многочлена $p$. Где у меня ошибка, разве $Q[x] \text{ и } Q(\alpha)$ не изоморфны?

[patzer2097]

неизоморфны - дело в том, что $p(a)=0$.

попробуйте доказать, что Ваше $\mathbb{Q}(a)$ изоморфно факторкольцу кольца $\mathbb{Q}[x]$ по главному идеалу $(p)$.

[main.c]

patzer2097 в сообщении #836657 писал(а):

неизоморфны - дело в том, что $p(a)=0$.

попробуйте доказать, что Ваше $\mathbb{Q}(a)$ изоморфно факторкольцу кольца $\mathbb{Q}[x]$ по главному идеалу $(p)$.

А если мы ещё не изучали факторкольцо и идеал? В принципе мне это не мешает почитать о них, что я и сделаю. Но можно ли как-нибудь более по-простому?

[patzer2097]

main.c в сообщении #836660 писал(а):

Но можно ли как-нибудь более по-простому?

ну можно. пусть $d=\deg p$.
многочлен $p$ сразу позволяет выразить $x^d$ линейно через $1,x,\ldots,x^{d-1}$. тогда можно проверить, что $1,x,\ldots,x^{d-1}$ порождают $\mathbb{Q}(a)$, и потому размерность $\mathbb{Q}(a)$ не больше $d$.
если $1,x,\ldots,x^{d-1}$ линейно зависимы, то есть многочлен $q$ степени меньше $d$, для которого $q(a)=0$. В этом случае у $q$ и $p$ есть нетривиальный общий делитель, что противоречит неприводимости $p$.

[patzer2097]

вместо $x$ имел в виду $a$ всюду в предыдущем сообщении