Ковариантный коммутатор операторов рождения и уничтожения

[SergeyGubanov]

Часто в книгах по КТП коммутатор операторов рождения и уничтожения определяют нековариантно по отношению к преобразованиям координат на массовой гиперповерхности. Далее эту нековариантность приходиться распространять на всё остальное. Формально в этом нет ошибки поскольку важен лишь конечный результат. Если конечный результат не зависит от использованной системы координат, то не важно что там делалось на промежуточных шагах. Тем не менее, не составляет труда делать промежуточные шаги ковариантно, а для более глубокого понимания темы это будет ещё и полезно. Далее всё по-порядку...


Массовая гиперповерхность
Операторы рождения и уничтожения квантов свободного скалярного массивного поля живут на трёхмерной массовой гиперповерхности выделенной в четырёхмерном импульсном пространстве. Метрика четырёхмерного импульсного пространства псевдоевклидова:

$$ d\mu^2 = d p_0^2 - d p_x^2 - d p_y^2 - d p_z^2. $$

Массовая гиперповерхность (точнее, её "верхняя секция") определяется уравнением:

$$ p_0 = \sqrt{m^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} $$

(для "нижней секции" надо поставить знак минус перед квадратным корнем). Часто можно слышать будто массовая гиперповерхность -- трёхмерный гиперболоид. Это не совсем так. Массовая гиперповерхность была бы трёхмерным гиперболоидом если бы выделялась в четырёхмерном евклидовом пространстве. Однако импульсное пространство псевдоевклидово, поэтому массовая гиперповерхность -- трёхмерная псевдосфера радиуса $m$ (однородное изотропное пространство постоянной отрицательной кривизны $R = - 6 / m^2$).

Системы координат на массовой гиперповерхности
Выделю три системы координат на массовой гиперповерхности.

1. Традиционная для КТП система координат $p_x$, $p_y$, $p_z$:

$$ h_{i j}(p) \, dp^i dp^j = d p_x^2 + d p_y^2 + d p_z^2 - \frac{\left( p_x d p_x + p_y d p_y + p_z d p_z \right)^2}{m^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} $$

Метрический тензор в этой системе координат не диагонален. Мера интегрирования:

$$ \sqrt{h(p)} \, d_3 p = \frac{m}{\sqrt{m^2 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}} \, dp_x \, dp_y \, dp_z. $$

2. Система координат $p$, $\theta$, $\varphi$ с явно выделенной симметрией 2-сферы:

$$ p_x = p \sin(\theta) \cos(\varphi), \quad p_y = p \sin(\theta) \sin(\varphi), \quad p_z = p \cos(\theta), $$

$$ h_{i j}(p) \, dp^i dp^j = \frac{m^2}{m^2 + p^2} d p^2 + p^2 d \theta^2 + p^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2, $$

$$ \sqrt{h(p)} \, d_3 p = \frac{m \, p^2 \sin(\theta)}{\sqrt{m^2 + p^2}} \, dp \, d\theta \, d\varphi. $$

3. Система угловых координат $\chi$, $\theta$, $\varphi$ с явно выделенной симметрией 3-псевдосферы:

$$ p = m \sinh(\chi), $$

$$ h_{i j}(p) \, dp^i dp^j = m^2 \left( d \chi^2 + \sinh(\chi)^2 \left( d \theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \right), $$

$$ \sqrt{h(p)} \, d_3 p = m^3 \sinh(\chi)^2 \sin(\theta) \, d\chi \, d\theta \, d\varphi. $$

Инвариантное интегрирование по массовой гиперповерхности
Если на массовой гиперповерхности задана функция $f(p)$, то интеграл от неё по массовой гиперповерхности есть

$$ \int f(p) \sqrt{h(p)} \, d_3 p. $$

Такой интеграл не зависит от используемой системы координат.

Нековариантная формулировка
Оператор рождения $a^{\dag}(p)$ и оператор уничтожения $a(p)$ квантов поля есть некие операторнозначные функции заданные на рассматриваемой массовой гиперповерхности (на трёхмерной псевдосфере). Часто в книгах по КТП можно видеть следующее коммутационное соотношение:

$$ \left[ a(p), a^{\dag}(p') \right] = \delta_3 (p - p'). $$

С такой формулой связана следующая проблема. Выше, в качестве примера, я показал три системы координат на псевдосфере. Думаете в какой системе координат записан этот коммутатор? Беда этой формулы в том, что трёхмерная дельта функция не является трёхмерным скаляром, поскольку при заменах координат ведёт себя как тензорная плотность $\sqrt{h(p)}$. По определению трёхмерной дельта функции имеем:

$$ \int \delta_3 (p) \, d_3 p = 1. $$

Но инвариантная мера интегрирования по массовой гиперповерхности есть $\sqrt{h(p)} \, d_3 p$, поэтому скалярной функцией является $\delta_3 (p)$ делённая на $\sqrt{h(p)}$:

$$ \int \left( \frac{\delta_3 (p)}{\sqrt{h(p)}} \right) \sqrt{h(p)} \, d_3 p = 1. $$

Ковариантная формулировка
Ковариантное коммутационное соотношение между $a(p)$ и $a^{\dag}(p)$ такое:

$$ \left[ a(p), a^{\dag}(p') \right] = \frac{\delta_3 (p - p')}{\sqrt{h(p)}}. $$

При этом, независимо от используемой системы координат, выполняются следующие равенства:

$$ \int \left[ a(p), a^{\dag}(p') \right] \sqrt{h(p)} \, d_3 p = 1, \quad \int \left[ a(p), a^{\dag}(p') \right] \sqrt{h(p')} \, d_3 p' = 1. $$

Собственно, можно было бы постулировать эти равенства, а затем из них получить ковариантную формулу для коммутатора.

А как же поступают авторы книг по КТП использующие нековариантый коммутатор? А они нековариантность привносят во всё остальное, так чтобы лишь всё вместе было ковариантно. Формально в этом ошибки нет. Нам же важно чтобы конечный ответ не зависел от системы координат на массовой поверхности, а промежуточные шаги не так уж и интересны. Тем не менее, для более глубокого понимания было бы полезно промежуточные шаги тоже представлять в ковариантном виде. Тем более, что это не составляет труда. Ковариантное многочастичное состояние:

$$ | p_1, \ldots, p_n \rangle = a^{\dag}(p_1) \ldots a^{\dag}(p_n) \, | 0 \rangle, $$

$$ \langle p_1, \ldots, p_n | = \langle 0 | \, a(p_1) \ldots a(p_n). $$

Инвариантная нормировка:

$$ \int \langle p | p' \rangle \sqrt{h(p)} \, d_3 p = 1, \quad \int \langle p | p' \rangle \sqrt{h(p')} \, d_3 p' = 1. $$

Поэтому:

$$ \langle p | p' \rangle = \frac{\delta_3 (p - p')}{\sqrt{h(p)}}. $$

В этих обозначениях:

$$ \left[ a(p), a^{\dag}(p') \right] = \langle p | p' \rangle. $$

Гамильтониан:

$$ H = \int \varepsilon(p) \, a^{\dag} (p) \, a(p) \sqrt{h(p)} \, d_3 p, $$

$$ H | p_1, \ldots, p_n \rangle = \left( \varepsilon(p_1) + \ldots + \varepsilon(p_n) \right) | p_1, \ldots, p_n \rangle. $$