2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение восьмой степени. (Псевдо гауссовское)
Сообщение08.03.2014, 05:46 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Зная, что корни уравнения:

$x^8+x^7-7x^6-6x^5+15x^4+10x^3-10x^2-4x+1=0\qquad\eqno (1)$

Есть косинусы: $2\cos \left(\frac{n\pi }{17} \right)$, где $n=2,4,8,16$
и $2\cos \left(\frac{m\pi }{17} \right) $, где $m=6,12,10,14$ выразите
корни уравнения:

$x^8-x^7-7x^6+\frac{43}{4}x^4-\frac{23}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+4x-\frac{13}{4}=0$

Через корни уравнения (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение восьмой степени. (Псевдо гауссовское)
Сообщение08.03.2014, 12:30 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Прошу прощения, должно быть:
$x^8-x^7-7x^6+6x^5+\frac{43}{4}x^4-\frac{23}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+4x-\frac{13}{4}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение восьмой степени. (Псевдо гауссовское)
Сообщение08.03.2014, 16:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Согласно PARI/GP, в соответствующем расширении многочлен разваливается на квадратные множители, корни которых находятся без проблем по стандартной формуле.

Код:
? nffactor( nfinit( y^8+y^7-7*y^6-6*y^5+15*y^4+10*y^3-10*y^2-4*y+1), (x^8-x^7-7*x^6+6*x^5+43/4*x^4-23/4*x^3-3/2*x^2+4*x-13/4)*4 )
%1 =
[x^2 + Mod(y^4 - 4*y^2 + y + 2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(-3/2*y^7 - 3/2*y^6 + 10*y^5 + 8*y^4 - 19*y^3 - 19/2*y^2 + 17/2*y, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]

[x^2 + Mod(y^5 - 4*y^3 + 2*y, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(1/2*y^7 + 1/2*y^6 - 4*y^5 - 4*y^4 + 9*y^3 + 17/2*y^2 - 11/2*y - 7/2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]

[x^2 + Mod(-y^7 - y^6 + 6*y^5 + 5*y^4 - 10*y^3 - 5*y^2 + 4*y - 1, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(1/2*y^7 + 1/2*y^6 - 4*y^5 - 2*y^4 + 9*y^3 + 1/2*y^2 - 7/2*y + 1, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]

[x^2 + Mod(y^7 + y^6 - 7*y^5 - 6*y^4 + 14*y^3 + 9*y^2 - 7*y - 2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1)*x + Mod(1/2*y^7 + 1/2*y^6 - 2*y^5 - 2*y^4 + y^3 + 1/2*y^2 + 1/2*y + 3/2, y^8 + y^7 - 7*y^6 - 6*y^5 + 15*y^4 + 10*y^3 - 10*y^2 - 4*y + 1) 1]


P.S. Ну или можно напрямую решить уравнение в косинусах, как мы это делали раньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение восьмой степени. (Псевдо гауссовское)
Сообщение08.03.2014, 19:49 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal
Мне кажется, что напрямую не получится. Ведь четыре корня действительные,
а другие четыре нет. Нельзя же набрать мнимые числа суммой действительных
косинусов.

(без названия)

Выражение в радикалах(для одного корня), не столь важно, но хорошо б таковое посмотреть,
ведь оно чуть-чуть отличается от приведенного в Википедии. Для 17-угольника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group