2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мнимые квадратичные поля с факторизацией
Сообщение07.03.2014, 18:53 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Разбирал решение Руста, и эмпирически обнаружил, что
$$S_p=\sum\limits_{k=1}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)\frac{k}{p}=-1\Leftrightarrow p=7;11;19;43;67;163$$Здесь $\left(\frac{k}{p}\right)$ - символ Лежандра.
В то же время в поле $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ выполняется основная теорема арифметики при $d=1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163$; A003173.
Это случайность?! :shock: Или это закономерность? Известная или нет? Я в квадратичных полях не разбираюсь.
Верна ли более общая закономерность: число классов поля $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ равно $S_p$ для почти всех $p$?

upd: A006203 - это точно не совпадение: $\Leftrightarrow S_p=-3$
В Comway Guy The Book Of Numbers не упомянуто.

A046002 $\Leftrightarrow S_p=-5$

В общем, можно OEIS пополнять еще дальше :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые квадратичные поля с факторизацией
Сообщение07.03.2014, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Это просто одна из классических формул для числа классов идеалов мнимого квадратичного поля. (См., например, Боревича–Шафаревича. В моём издании 1964 г. это гл. V, пар. 4, п. 1, теорема 1, формула (3)). Для простого $p\equiv3\pmod4$ число классов идеалов поля $\mathbb Q\bigl(\sqrt{-p}\,\bigr)$ равно $-S_p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые квадратичные поля с факторизацией
Сообщение07.03.2014, 21:09 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Спасибо, не знал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group