2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение области значений функции
Сообщение06.03.2014, 11:38 
Заморожен


17/04/11
420
В учебнике дан пример нахождения области значений функции $y=\sin x+ \cos x$

Преобразуем функцию $y=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)=\sqrt{2}(\sin \frac{\pi}{4}\sin x+\cos \frac{\pi}{4}\cos x)=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})$
Т. к. $\lvert \sin(x+\frac{\pi}{4}) \rvert \leq 1$, то $\lvert \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4}) \rvert \leq \sqrt{2}$, $\lvert y \rvert \leq \sqrt{2}$, $-\sqrt{2} \leq y \geq \sqrt2{}$

Непонятна сама методика нахождения области значений подобных функций, состоящих из нескольких других. Откуда вообще взялся $\sqrt {2}$, вынесенный за скобки? С чего начинать в подобных случаях? И почему, извиняюсь за глупый вопрос, область значений функции $y=\sin x+ \cos x$ не равна $[-2; 2]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение области значений функции
Сообщение06.03.2014, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
По порядку: $\sqrt {2}$ взялся из общего приёма, который позволяет из суммы косинусов и/или синусов получить один косинус и/или синус. Начинать всегда надо с разного. Область значений функции не равна $[-2; 2]$ потому, что укажите мне такой $x$, при котором будет значение 2 или -2, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение области значений функции
Сообщение06.03.2014, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
BENEDIKT в сообщении #833316 писал(а):
Непонятна сама методика нахождения области значений подобных функций, состоящих из нескольких других.
Общего алгоритма на все случаи жизни и нет. Однако…
BENEDIKT в сообщении #833316 писал(а):
Откуда вообще взялся $\sqrt {2}$, вынесенный за скобки?
Это стандартный приём. Называется "метод вспомогательного угла" или что-то в этом духе. См., например, здесь.
BENEDIKT в сообщении #833316 писал(а):
И почему, извиняюсь за глупый вопрос, область значений функции $y=\sin x+ \cos x$ не равна $[-2; 2]$?
Оно, конечно, $\sin x+\cos x\leqslant2$, однако, чтобы получить $2$, должно было бы выполняться $\sin x=\cos x=1$, но так не бывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение области значений функции
Сообщение06.03.2014, 12:40 
Заморожен


17/04/11
420
ИСН, RIP
Большое спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение области значений функции
Сообщение06.03.2014, 14:51 
Аватара пользователя


15/02/11
218
ISR
нарисовать тоже полезно
здесьhttps://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx%2Bcosx или самому

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group