Проверка решения: одно утверждение об интеграле

[sla-von]

Задача.

Пусть $f(x)$ - положительная непрерывная функция на $R$ и $\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)dx}=1$. Пусть $\alpha \in (0,1)$ и $[a,b]$ - интервал минимальной длины из тех, для которых $\int_a^b{f(x)dx}=\alpha$. Доказать, что $f(a)=f(b)$.

Решение.

Раз $f(x)$ (строго) положительна, непрерывна и $\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)dx}=1$, то она ограничена и имеет (хотя бы один) максимум. Возьмём какой-нибудь интервал $[x_1,x_2]$ из тех, где $\int_{x_1}^{x_2}{f(x)dx}=\alpha$. По теореме о среднем найдётся такое $c \in [x_1,x_2]$, что $f(c)=\frac{\alpha}{x_2-x_1}$. Отсюда видно, что при уменьшении $[x_1,x_2]$ и неизменном $\alpha$ растёт $f(c)$. Тогда максимум функции $f(x)$ принадлежит интервалу $[a,b]$, и внутри $(a,b)$ найдутся точки, где $g(x) = f(x)-\frac{\alpha}{b-a}>0$. По той же причине снаружи $(a,b)$ найдутся точки, где $g(x) < 0$. Тогда $g(a)=g(b)=0$, откуда и следует требуемое утверждение.

Есть два вопроса.
1. Это правильное решение?
2. $f(x)$ сильно напоминает плотность вероятности. Можно ли решить эту задачу вероятностными методами?

Благодарю за помощь.

[neo66]

sla-von в сообщении #832205 писал(а):

1. Это правильное решение?

Понятия не имею. Я вообще ничего не понял.
Я бы рассуждал так: если интеграл по интервалу $[a,b]$ равен $\alpha$ и $f(a)\not=f(b)$, то его длину можно уменьшить (то есть, найти другой интервал, меньшей длины, но с тем же интегралом).

В этой задаче, стого говоря, надо бы еще сначала доказать, что такой минимальный интервал существует.

[Алексей К.]

devgen в сообщении #827978 писал(а):

$f(x)$ положительная и непрерывная функция на $\mathbb{R}$ и $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$. Пусть$\alpha\in(0;1)$, а $[a;b]$ интервал наименьшей длины, такой что $\int_{a}^{b}f(x)dx=\alpha$. Докажите, что $f(a)=f(b)$.

-- 04 мар 2014, 00:04:30 --

Впрочем, не уверен, что это одна и та же задача: там искали наименьшее, здесь минимальное. Но уж очень много похожих буковок.

[sla-von]

neo66
Да, существование минимального интервала не очевидно, но это другая задача. Давайте считать, что он существует.
Алексей К.
Да, это одна и та же задача. С предложенным Dan B-Yallay решением я разобрался, спасибо. А что с моей попыткой? Имеет она право на жизнь?

[devgen]

У меня так получилось (с помощью решений из той темы), буду рад поправкам.

Пусть $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$. Тогда $\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$ и $\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$. Так как при этом $F(x)$ непрерывная функция на $\mathbb{R}$, то для любого $\alpha\in(0;1)$ найдется такой $x_0$, что $F(x_0)=\alpha$, т.е. хотя бы один необходимый интервал существует. Пусть теперь мы нашли наименьший такой интервал $(a_0;a_0+c)$, длиной $c$. Рассмотрим функцию $g(a)=F(a+c)-F(a)$ и $g(a_0)=\alpha$. Т.к. $c$ длина наименьшего интервала, а $f(x)>0, \forall x$, то $g(a)\leq g(a_0)$. В точке экстремума $g'=0$, т.е. $f(a_0)=f(a_0+c)$.

-- Вт мар 04, 2014 09:34:46 --

sla-von
Мне кажется, вы показали (не вдавался, на сколько правильно), что внутри интервала $(a;b)$ найдется такая точка $x_0$, что $f(x_0)=\frac{\alpha}{b-a}$.

[sla-von]

devgen в сообщении #832475 писал(а):

Мне кажется, вы показали (не вдавался, на сколько правильно), что внутри интервала $(a;b)$ найдется такая точка $x_0$, что $f(x_0)=\frac{\alpha}{b-a}$.

Это просто теорема о среднем.

Цитата:

Пусть теперь мы нашли наименьший такой интервал $(a_0;a_0+c)$, длиной $c$.

Видимо, имелось в виду $[a_0,a_0+c]$. Не совсем понял, как у вас из минимальности $c$ получилось $g(a)\leq g(a_0)$.

[Oleg Zubelevich]

задача одна, двоешники разные: topic81366.html

-- Вт мар 04, 2014 13:44:28 --

приравняйте к нулю производную функции $u(a),\quad \int_a^{u(a)+a}f(x)dx=\alpha$

[sla-von]

Oleg Zubelevich в сообщении #832562 писал(а):

приравняйте к нулю производную функции $u(a),\quad \int_a^{u(a)+a}f(x)dx=\alpha$

Круто. Только производную надо брать не от $u(a)$, а от интеграла. Пожалуй, это самое изящное решение. Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

думаю, что Вы ничего не поняли

[ewert]

sla-von в сообщении #832472 писал(а):

neo66
Да, существование минимального интервала не очевидно, но это другая задача. Давайте считать, что он существует.

Если предположить, что минимальный интервал существует, то утверждение сводится к следующему: при $f(a)\neq f(b)$ этот интервал не может быть минимальным. В таком варианте утверждение вполне очевидно, а его доказательство, предложенное neo66 -- практически исчерпывающе.

[devgen]

Цитата:

Видимо, имелось в виду $[a_0,a_0+c]$. Не совсем понял, как у вас из минимальности $c$ получилось $g(a)\leq g(a_0)$.

Потому что, если найдется такое $a$, что $g(a)>g(a_0)=\alpha$, то можно сделать отрезок короче чем $c$, что противоречит.

Oleg Zubelevich, так?

$$ \left\{\begin{matrix} u(a)\to extr\\ \int\limits_{a}^{u(a)+a}f(x)dx=\alpha \end{matrix}\right $$

$$ \left\{\begin{matrix} u'(a)=0\\ \int\limits_{a}^{u(a)+a}f(x)dx=\alpha \end{matrix}\right $$

$$ \left\{\begin{matrix} u'(a)=0\\ (u'(a)+1)f(u(a)+a)-f(a)=0 \end{matrix}\right $$

$$ f(u(a)+a)=f(a) $$

[Oleg Zubelevich]

да, так. только еще надо доказать, что существует функция $u(a)$. Для этого воспользуйтесь теоремой о неявной функции.

[ewert]

Не надо никаких функций. Фиксируем альфу и пусть $m$ -- это инфимум длин всех интервалов, интеграл по которым равен именно альфе. Выберем последовательность таких интервалов $(a_k;b_k)$, длины которых стремятся к $m$. Эта последовательность ограниченна, поэтому по подпоследовательности можно считать, что $a_k\to a$ и $b_k\to b$. Вот интервал $(a;b)$ и будет минимальным (одним из, в.г., естественно).

[sla-von]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #832596 писал(а):

думаю, что Вы ничего не поняли

Ваше право. Можете думать что угодно, но ваша (и других форумчан) помощь мне весьма полезна. Сейчас я лишен возможности получить качественную консультацию иным способом, в противном случае меня бы здесь не было. И да, я не студент-двоечник и вообще лет десять как не студент. Так что мои жалкие потуги вызваны не судорожным желанием закрыть хвост, а несколько иными мотивами.

Итак, что в сухом остатке. Функция $F(x)=\int_{-\infty}^x{f(t)dt}$ непрерывна и $F(x)\in(0,1)$ при всех действительных $x$, как показал devgen. Значит, по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции, для любого $\alpha \in (0,1)$ найдется такое $a$, что $F(a)=\alpha$, и хотя бы один требуемый интервал существует. Пусть длина наименьшего из таких интервалов равна $c$. Тогда из условия $\int_{a}^{a+c}{f(t)dt}=\alpha$. Дифференцируя этот интеграл по $a$, будем иметь $f(a+c)\frac{d}{da}(a+c)-f(a)=0$, откуда $f(a+c)=f(a)$. Так?

[ewert]

sla-von в сообщении #832904 писал(а):

Тогда из условия $\int_{a}^{a+c}{f(t)dt}=\alpha$. Дифференцируя этот интеграл по $a$, будем иметь $f(a+c)\frac{d}{da}(a+c)-f(a)=0$, откуда $f(a+c)=f(a)$. Так?

Не так. Из того, что для данного $a$ интеграл равен $\alpha$, ни разу не следует, что он будет равен $\alpha$ и при соседних $a$. Предыдущая же фраза и вовсе бессмысленна.