Среднее количество множителей в числе

[proba]

ИСН в сообщении #830885 писал(а):

Есть бесчисленное количество способов разбить последовательность простых чисел на части, но именно этот встречается исключительно редко.

Вот какую задачу я решаю.

Возьмем последовательность всех простых чисел и окрасим ее в три базовых цвета периодически: каждое третье число, начиная с $2$, зеленое; каждое третье число, начиная с $3$, синее; каждое третье число, начиная с $5$, красное. Тогда $n!$ приобретет некоторый цвет как смесь цветов всех своих сомножителей с учетом их кратности. Спрашивается, какого цвета будет $n!$ асимптотически? Если все цвета в смеси будут присутствовать одинаково (по одной трети), то цвет будет одним, а если по-разному, то другим.

Сомнение мое состоит в следующем. У каждого цвета есть своя яркость, свой индекс яркости. Если все цвета в смеси будут присутствовать одинаково, то этот индекс поначалу (при небольших $n!$) будет возрастать, пока доли базовых цветов не одинаковы (из-за того, что $2$ встречается чаще других простых множителей), а потом убывать, приближаясь к асимптоте. Значит, он достигнет своего максимума при некотором конечном $n$ (или это будет целый интервал). Т.е. это будет какая-то мировая константа, что подозрительно. Скорее я бы ожидал, что индекс яркости факториала не имеет максимума, а будет асимптотически приближаться к индексу яркости белого цвета, но тогда доли красных, зеленых и синих простых множителей асимптотически не будут равными, не будут все равны $\frac{1}{3}$.

[ИСН]

Таких мировых констант - пятачок за пучок. Это ничего не значит.

[proba]

Тогда так. Возьмем функцию Мёбиуса на отрезке $[1, N]$. Она принимает три значения: $0$, $-1$ и $+1$ или, если хотите: красное, зеленое и синее. Спрашивается, какова доля тех, других и третьих при $N \to \infty$?

[ИСН]

Доля 0 стремится к чему-то вроде $1-{6\over\pi^2}$ (тоже мировая константа, если угодно), а остальных, кажется, поровну.

[proba]

Да, верно. А цвет смеси, с такими долями красного, зеленого и синего можете определить?

[ИСН]

██████Вот такой

[proba]

ИСН в сообщении #830924 писал(а):

██████Вот такой

Нет. Вы просто взяли RGB-координаты белого цвета (255, 255, 255) и умножили их на веса (0.392, 0.304, 0.304) значений функции Мебиуса 0, -1 и 1. Это неправильно. Ну да ладно, к цветам я вернусь потом. А теперь еще один вопрос по теме в связи с функцией Мебиуса.

Функцию Мебиуса можно обобщить на конечные слова над произвольным алфавитом из букв:

$$ \mu(s)=\begin{cases} 0,&\text{если в слове $s$ есть одинаковые буквы,}\\ (-1)^{|s|},&\text{если в слове $s$ нет одинаковых букв, где $|s|$ - количество букв в нем.} \end{cases} $$

Но отличительным признаком алфавита является его разделение на гласные и согласные буквы, и совершенно аналогичным образом мы могли бы ввести еще две функции: $\mu$' и $\mu$", только первая брала бы в расчет одни гласные буквы, а вторая - одни согласные; некоторые слова при этом оказались бы пустыми, тогда $(-1)^0 = 1$. Спрашивается, что бы могло соответствовать этим $\mu$' и $\mu$" в случае натуральных чисел? Т.е. как обобщить эти функции на натуральный ряд?

[Sonic86]

(Оффтоп)

... Я долго думал, что тут сказать....
Решил ничего не говорить.
Но мой шаблон порван напрочь Правда, совершенно бессмысленно.

[provincialka]

Я еще понимаю, когда "альт" придумывает какое-то странное понятие... Но когда предлагает придумать его нам... Это уже полное извращение.

[proba]

Эта тема первоначально была в дискуссионных, но ее зачем-то перенесли сюда.

provincialka в сообщении #830986 писал(а):

Но когда предлагает придумать его нам...

Мы, Николай II.

[ИСН]

proba в сообщении #830983 писал(а):

Вы просто взяли RGB-координаты белого цвета (255, 255, 255) и умножили их на веса (0.392, 0.304, 0.304) значений функции Мебиуса 0, -1 и 1.

Естественно. А Вы что имели в виду?

proba в сообщении #830983 писал(а):

Но отличительным признаком алфавита является его разделение на гласные и согласные буквы

Ну, можно и множество простых чисел разделить на два подмножества по какому-нибудь естественному признаку.

[proba]

ИСН в сообщении #830991 писал(а):

Естественно. А Вы что имели в виду?

Это как раз не естественно, естественные цвета смешиваются по-другому. Но я не буду здесь больше говорить о цвете, это отдельная тема, да и спортсмены-альтоборцы уже напряглись. Скажу только, что недоумеваю, почему идея цвета так слабо используется в математике - во всяком случае, неизмеримо слабее, чем в окружающем нас мире.

ИСН в сообщении #830991 писал(а):

Ну, можно и множество простых чисел разделить на два подмножества по какому-нибудь естественному признаку.

По какому, например? Дело в том, что "естественный" признак - натуральный, так сказать, - не может быть просто каким-нибудь. Тот же привычный нам алфавит, азбука, не разделен же на гласные и согласные просто как-нибудь.

[Deggial]

proba в сообщении #830988 писал(а):

Эта тема первоначально была в дискуссионных, но ее зачем-то перенесли сюда.

Изначально вопрос был в следующем:

proba в сообщении #830744 писал(а):

Подскажите, известен ли следующий результат.

Берем отрезок $[1, N]$ натурального ряда и фиксируем простое число $p$. Сколько раз в среднем на данном отрезке встречается это $p$ в качестве множителя (с учетом его кратности) в пределе по $N$? Получается, что $1/(p - 1)$ раза.

Данный вопрос простой, потому тема и была перемещена.
А сейчас уже разговор о чем-то совершенно ином:

proba в сообщении #830983 писал(а):

Функцию Мебиуса можно обобщить на конечные слова над произвольным алфавитом из букв:

$$ \mu(s)=\begin{cases} 0,&\text{если в слове $s$ есть одинаковые буквы,}\\ (-1)^{|s|},&\text{если в слове $s$ нет одинаковых букв, где $|s|$ - количество букв в нем.} \end{cases} $$

Но отличительным признаком алфавита является его разделение на гласные и согласные буквы, и совершенно аналогичным образом мы могли бы ввести еще две функции: $\mu$' и $\mu$", только первая брала бы в расчет одни гласные буквы, а вторая - одни согласные; некоторые слова при этом оказались бы пустыми, тогда $(-1)^0 = 1$. Спрашивается, что бы могло соответствовать этим $\mu$' и $\mu$" в случае натуральных чисел? Т.е. как обобщить эти функции на натуральный ряд?

Причём, вопрос сменился не первый раз.
Вам устное замечание за оффтоп.
Сформулируйте, пожалуйста, предмет обсуждения максимально полно и фиксированно.

[proba]

Тему я мог бы сформулировать так: Можно ли считать простые числа алфавитом?

Тогда первый пост означает: Какова средняя частотность одной буквы? Очередной сформулированный вопрос значит: Можно ли принять простые числа через три, начиная с двойки, за гласные буквы? Поскольку это показалось участникам слишком экзотическим, последовал очередной вопрос: Можно ли выделить гласные числа по примеру функции Мёбиуса, заданной на словах? И т.п. Никакой перемены. Всё логично.

[Cash]

А зачем?