2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка параметра показательного распределения
Сообщение22.02.2014, 07:31 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Известно что среднее значение показательно распределенных с.в. связано с его параметром как $\mu=\frac{1}{\lambda}$, такая же связь и у $\sigma$. На практике же эти два момента как правило не совпадают. В связи с этим вопрос: если для оценки $\lambda$ брать средневзвешенное значение от этих двух величин не окажется ли она более эффективной чем среднее значение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение22.02.2014, 10:22 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
По факторизационной теореме Неймана — Фишера (см., например, [1] или [2]) статистика $T=\sum x_i$ является достаточной для параметра (одномерного) показательного распределения. Следовательно, для оценки параметра достаточно использовать $T$ (в виде той или иной функции от неё). Другие статистики не предоставят дополнительной информации о значении параметра.

[Если после празднования на работе я не глючу, то вопрос банальный (и сформулирован коряво), поэтому тему перенёсу через день в «Чулан» дабы она не топила темы без ответов.]

[1] Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика, 1984; §2.3 («Принцип достаточности и ...»).
[2] Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров, проверка гипотез., 1984; §2.12 («Достаточные статистики»).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение22.02.2014, 15:48 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
GAA в сообщении #829381 писал(а):
Другие статистики не предоставят дополнительной информации о значении параметра.

Спасибо.

-- Сб фев 22, 2014 19:51:43 --

GAA в сообщении #829381 писал(а):
вопрос банальный (и сформулирован коряво)

А как было нужно ("не коряво") сформулировать вопрос? Покажите мастер-класс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение22.02.2014, 17:49 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Хорошо бы было привести плотность. Далее, $\sigma$ — не момент. Когда Вы пишете о несовпадении, то видимо говорите не о $\sigma$ и $\mu$, а об их оценках. Аналогично в последнем предложении. В качестве оценки $\sigma$, возможно, Вы предполагаете корень из выборочного второго центрального момента (или $\frac{1}{n-1}\sum (x_i -\bar x)^2$, или другой, но, по крайней мере, отличной от функции от $T$.).

Если я угадал правильно, то, надеюсь, ответил правильно. В любом случае ссылки приведены. Можно посмотреть и разобраться.

-- Sat 22.02.2014 16:56:13 --

Никто за автора точно вопрос сформулировать не может. Поэтому, даже если у меня было бы достаточно знаний (а это не так), я бы точно вопрос сформулировать не смог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение23.02.2014, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Вопрос распадается на два подвопроса.
1. Можно ли в принципе улучшить оценку так?
2. Почему из двух оценок нельзя сделать лучшую, хотя во множестве задач мы усредняем величины, получая более точную оценку?

1. Нельзя, и уже сказано почему. По причине достаточности статистики среднего арифметического. Хотя если использовать не среднеквадратичный критерий, а какой-то иной, это рассуждение неприменимо. Но придумать критерий, для которого такой подход лучше, я не в силах.
2. Потому, что они не независимы. И отклонение одной оценки от истинного не компенсируется второй (а там ещё и нелинейная связь, и отклонение ещё и усиливается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение24.02.2014, 13:07 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Евгений Машеров в сообщении #829895 писал(а):
Хотя если использовать не среднеквадратичный критерий, а какой-то иной, это рассуждение неприменимо.
Боюсь, рассуждение не связано со среднеквадратичным подходом к сравнению оценок.

Раз в теме поучаствовал кроме меня и ТС еще и Евгений Машеров, срочно переносить тему в «Чулан» я не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение24.02.2014, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
В порядке "пощупать руками".
Смоделировал 100 выборок по десять экспоненциально распределённых чисел с параметром 1.
Оценки по среднему - X, по стандартному отклонению - Y
Изображение
Видно, что:
1. Эти оценки весьма коррелированы.
2. Корреляция имеет, по-видимому, нелинейный характер (хотя для таких утверждений нужно доказательство, а не просто картинка, и даже не наличие значимой нелинейной регрессии).
3. Среднеквадратичное от истинного значения оценки по СКО выше, чем по среднему, примерно на 28% (тоже сугубо эмпирический факт).

Оценка "простое среднее между двумя названными" даёт большее отклонение от оценки параметра, чем по среднему, отклонение примерно на 10% выше.
Если бы две эти оценки были независимы, то даже несмотря на большее СКО для второй, можно было бы использовать для улучшения, подобрав веса среднего. Но независимости нет (п. 1 и п.2), причём из того, что среднее - "достаточная статистика", следует, что и быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение24.02.2014, 13:28 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Спасибо. Попробую помоделировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение24.02.2014, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
На всякий случай поясню - задача, как она была поставлена вначале, не требует для ответа имитационного моделирования, ответ даётся словами "достаточная статистика" Численный эксперимент проведен скорее в качестве демонстрации, почему такое, кажущееся интуитивно ясным решение вдруг не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение25.02.2014, 00:47 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Евгений Машеров в сообщении #830132 писал(а):
Видно, что:
1. Эти оценки весьма коррелированы.
2. Корреляция имеет, по-видимому, нелинейный характер (хотя для таких утверждений нужно доказательство, а не просто картинка, и даже не наличие значимой нелинейной регрессии).

Между ними существует функциональная связь:
$\sigma[X]=\sqrt{M[X^2]-M^2[X]}$.
Поэтому несколько переформулирую задачу и предложу вторую оценку параметра показательного распределения считать через 2-ой начальный момент.
$\frac{1}{\lambda}=\sqrt{\frac{M[X^2]}{2}}$
И брать среди них средневзвешенное значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение25.02.2014, 08:03 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Промоделировал 100 выборок по 50. Дисперсия почти одинаковая и корреляция 0.87. Не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка параметра показательного распределения
Сообщение25.02.2014, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Функциональная связь между ними была бы при фиксированном $M[X^2]$
А так всё же корреляция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group