Олимпиадная задача по геоме

[sopor]

Дан эллипс, его фокусы $A, B$ и точка $C$ на нём. Прямые $CA$ и $CB$ пересекают эллипс второй раз в точках $M$ и $N$. В точках $M, N$ проведены касательные к эллипсу, они пересекаются в точке $K$. Далее, $L$ - середина отрезка $CK$. Доказать, что точки $A,B,C,L$ лежат на окружности.

(Задача с олимпиады мат-меха СПбГУ, 16.02.2014)

[_Ivana]

Интересно, насколько громоздким будет читерское решение с введением системы координат, записей условий в алгебраическом виде и доказательством требуемого? На первый взгляд, по крайней мере, принципиально возможным.

Сейчас на работе, не могу выделить время на проверку реализуемости своего решения...

[sopor]

Да, на олимпиаде я сразу подумал об этом методе, но сразу отбросил, так как времени не хватило бы 100%.
Красивое решение я найти не смог

[Red_Herring]

Может быть, использовать факт что $\angle KMA +\angle KMB=\pi$ и $\angle KNA +\angle KNB=\pi$ ?

[Red_Herring]

Построено с помощью tikz и tkz-euclide

[Dimoniada]

Спасибо за чертёж, помогает
У меня в 2 пункта:
1) вначале доказываем, что $CL$ - биссектриса $\angle ACB$ ($K$ - центр вневписанной окружности, например для $\triangle ACN$);
2) далее доказываем, что $L$ - такая точка на биссектрисе ($\triangle ABC$), что проекция $CL$ на сторону $CB (L \rightarrow L') $ равна $AC + L'B$ (равенство длин доказывается "удвоением" $CL$ и рассмотрением проекций $K$ как на стороны $\triangle ACN$ так и $\triangle BCM$).

Тогда $L$ лежит на описанной окружности $\triangle ACB$.

[Red_Herring]

Dimoniada
Я Вам не поверил и сделал другой ТеХнический чертеж где все построено как указано в условиях, но есть еще желтая точечная линия показывающая биссектрису (да и точка $C$ другая). Да, действительно, $CL$ биссектриса.

Разумеется, чертеж не является доказательством, но средством проверки правдоподобия гипотез

[nnosipov]

Для проверки правдоподобности гипотез проще использовать систему динамической геометрии типа geogebra --- подвигал рисунок, посмотрел, что всё правильно, и доказывать как-то уже непонятно зачем. Разве что из спортивного интереса или ради каких-нибудь содержательных обобщений.

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #830157 писал(а):

Для проверки правдоподобности гипотез проще использовать систему динамической геометрии типа geogebra --- подвигал рисунок, посмотрел, что всё правильно, и доказывать как-то уже непонятно зачем. Разве что из спортивного интереса или ради каких-нибудь содержательных обобщений.

Ну, при правильно определенном ТеХовом рисунке двигать тоже можно и несложно :)

[nnosipov]

У меня был небольшой опыт рисования картинок в mfpic. Мне показалось, что это довольно затратное дело. С тех пор стараюсь обходиться без картинок. Или, в крайнем случае, делаю их в geogebra.

[Red_Herring]

Знает ли Геогебра биссектрису? медиану? центры вписанной и описанной окружностей? Все это в tkz–euclide есть в виде макро. Да, с вневписанными окружностями труднее, точнее, муторнее

[nnosipov]

Red_Herring в сообщении #830189 писал(а):

Знает ли Геогебра биссектрису? медиану? центры вписанной и описанной окружностей?

Да, знает (в том смысле, что позволяет легко строить). Я думал, будут проблемы с проведением касательной к эллипсу --- так ничего подобного, пара щелчков мышкой и готово. Рисование всей картинки для данной задачи заняло минуты 2-3. Можете развлечься как-нибудь на досуге, там всё крайне примитивно в плане освоения.

[Red_Herring]

Странно, у меня касательные не получаются. М.б. потому что я не Кликтон?

[nnosipov]

Тыкаем в кнопку, которая отвечает за проведение касательной к окружности (наплевать, что у нас эллипс, а не окружность), отмечаем точку на эллипсе, тыкаем в сам эллипс --- и готово, касательная сама собой возникает. Только что проделал.

[Red_Herring]

nnosipov в сообщении #830215 писал(а):

Тыкаем в кнопку, которая отвечает за проведение касательной к окружности (наплевать, что у нас эллипс, а не окружность), отмечаем точку на эллипсе, тыкаем в сам эллипс --- и готово, касательная сама собой возникает. Только что проделал.

Да, я просто не сообразил что речь идет не о точке на экране, а об отмеченной точке на плоскости. А с экспортом в pgf/tikz мы получаем приемлемый TeX файл.