2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 17:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
В этом же топике речь ведь вовсе не о книжках; ТС ведь сам честно признался, что формально он всё понимает. Речь о стимуляции этого понимания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 20:59 


12/02/14
808
Да, но в книжках, которые я порекомендовал (в особенности у Колмогерова), содержатся и неформальные объяснения меры и интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
djuuj в сообщении #825765 писал(а):
Не $\sigma$-аддитивная, а просто аддитивная, и не на $\sigma$-алгебре, а на просто алгебре. Почему такие меры не подходят для построения интеграла всё ещё не понятно.

Как же она не сигма-того? Ну да, определена она не на сигма-алгебре, но уж если дизъюнктное объединение оказывается измеримым, то все хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 21:30 


06/01/10
56
Согласен, ошибся.

-- Чт фев 13, 2014 20:41:59 --

mishafromusa в сообщении #826038 писал(а):
Да, но в книжках, которые я порекомендовал (в особенности у Колмогерова), содержатся и неформальные объяснения меры и интеграла.

Читал Колмогорова. Что-то не припомню неформальных объяснений там. Разве что может тривиальные, типа "аппроксимируем множество элементарными". А в основном изложение состоит из неочевидных определений и алгебраических преобразований, и всё кажется каким-то надуманным. Имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Что касается интеграла. Знаете, как Лебег писал?
Если использовать риманову конструкцию, то вы считаете так, как попадается под руку. А тут...
Ну представьте, есть у вас гора денег разного достоинства, которая в стопку сложена. Как считается по Риману? Подряд. А как по Лебегу? У меня есть 5 бумажек по 5 рублей, т.е. $5 \cdot 5$ рублей, 2 бумажки по 3 рубля, т.е. $2 \cdot 3$ рублей, а потом эти числа складываете. Результат-то такой же получится, но способ подсчета отличается радикально!
А что касается меры.. Ну возьмите (нарисуйте) ограниченное множество и попробуйте его приблизить (на рисунке) сверху и снизу прямоугольниками (по Жордану), и потом по Лебегу. А теперь возьмите неизмеримое, и попробуйте то же самое. Может, что увидите? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 04:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Oleg Zubelevich в сообщении #825926 писал(а):
а разве функция $f(x)=\sin(1/x),\quad x\ne 0,\qquad f(0)=0,\quad x\in [-1,1]$ не является контрпримером к Вашему утверждению?


По-моему, нет. Она интегрируема по Риману и приближается простыми функциями по Жордану, достаточно разбить $[-1,1]$ на маленькие интервалы и взять их прообразы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 06:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SpBTimes в сообщении #826042 писал(а):
Как же она не сигма-того?

Ну вот не сигма, увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 06:24 


10/02/11
6786
g______d в сообщении #826133 писал(а):
и приближается простыми функциями по Жордану, достаточно разбить $[-1,1]$ на маленькие интервалы и взять их прообразы.

а можно подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 06:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #826136 писал(а):
а можно подробнее?

Ну, прообразы-то тут по Жордану измеримы, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 06:46 


10/02/11
6786
сперва мне показалось, что при такой конструкции в замыкании должны получаться только функции с разрывом первого рода

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 06:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Нашел, где это доказывается. Статья в Annals 1933 года, последняя теорема.

http://www.math.uga.edu/~pete/Frink33.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 06:58 


12/02/14
808
Вот в том-то и дело, что прообразы измеримы по Жордану только для достаточно хороших функций. Трудность в том, что слишком многие множества неизмеримы по Жордану, и мера Лебега устраняет эту трудность, так как множеств, измеримых по Лебегу, гораздо больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 07:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #826141 писал(а):
Вот в том-то и дело, что прообразы измеримы по Жордану только для достаточно хороших функций.


Для слишком хороших. Можно построить бесконечно гладкую функцию, не "измеримую" по Жордану: как в статье, взять замкнутое множество, не измеримое по Жордану, потом взять гладкую функцию, равную нулю в точности на этом множестве.

К счастью, это условие не является необходимым для интегрируемости по Риману.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 07:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
g______d в сообщении #826140 писал(а):
Статья в Annals 1933 года, последняя теорема.

g______d в сообщении #826140 писал(а):
Статья в Annals 1933 года, последняя теорема.

Это замечательно, конечно, но ведь это вовсе не лебегова конструкция. Для лебеговой нужно всё-таки, чтобы прообразы были измеримы (в данном случае по Жордану).

 Профиль  
                  
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение14.02.2014, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
ewert в сообщении #826150 писал(а):
Это замечательно, конечно, но ведь это вовсе не лебегова конструкция. Для лебеговой нужно всё-таки, чтобы прообразы измеримы (в данном случае по Жордану).


Ну очевидно (ровно из-за того, что свойство измеримости прообразов по Жордану слишком сильное), что интеграл Римана не определить с помощью лебеговой конструкции. Мне было интересно, существует ли конструкция, объединяющая оба интеграла и отличающаяся только заменой меры Лебега на меру Жордана. Мне кажется, я ответил на этот вопрос.

Кстати говоря, что такое лебегова конструкция? Мне казалось, что классически это как раз и есть аппроксимация простыми функциями (разве что не равномерная). Определение интеграла с помощью разбиения области значений – на самом деле не определение, а теорема, работающая только для вещественнозначных функций; область значения функции, вообще говоря, может не обладать никакими естественными разбиениями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 116 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group