2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение29.01.2014, 11:01 


10/02/11
6786
Vince Diesel
т.е. мои вопросы выше, Вы предпочли не комментировать. Это тоже ответ. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение29.01.2014, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #820201 писал(а):
Это бесконечно гладкая, но не аналитическая функция.

Ну вот, щас окажется, что все, кроме меня, не делают разницы между комплексной аналитичностью и действительной аналитичностью, а меня заставляли запоминать, что это совершенно разные вещи (и действительная аналитичность - как раз бесконечная гладкость и есть, или ей равносильна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение29.01.2014, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Munin в сообщении #820304 писал(а):
Ну вот, щас окажется, что все, кроме меня, не делают разницы между комплексной аналитичностью и действительной аналитичностью, а меня заставляли запоминать, что это совершенно разные вещи (и действительная аналитичность - как раз бесконечная гладкость и есть, или ей равносильна).
Так и есть. Бесконечная дифференцируемость - это бесконечная дифференцируемость, а аналитичность - это раскладываемость в степенной ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение08.02.2014, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Если Вам нужна задача Коши по $t$ то она очень плохо поставлена (очень плохо в том смысле что даже аналитичности начальных данных не хватает.

С задачей Коши по пространственной переменной $x$ или $y$ дело обстоит получше: она хорошо поставлена в классах Жевре с показателем $<2$ и плохо поставлена при показателе $>2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение08.02.2014, 23:22 


18/02/10
254
Red_Herring в сообщении #824285 писал(а):
Если Вам нужна задача Коши по $t$ то она очень плохо поставлена (очень плохо в том смысле что даже аналитичности начальных данных не хватает.

С задачей Коши по пространственной переменной $x$ или $y$ дело обстоит получше: она хорошо поставлена в классах Жевре с показателем $<2$ и плохо поставлена при показателе $>2$.

Начальные условия будут включать в себя функции Хевисайда, так что преобразование Фурье выйдет в обобщенные функции...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение08.02.2014, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
ChaosProcess в сообщении #824314 писал(а):
Red_Herring в сообщении #824285 писал(а):
Если Вам нужна задача Коши по $t$ то она очень плохо поставлена (очень плохо в том смысле что даже аналитичности начальных данных не хватает.

С задачей Коши по пространственной переменной $x$ или $y$ дело обстоит получше: она хорошо поставлена в классах Жевре с показателем $<2$ и плохо поставлена при показателе $>2$.

Начальные условия будут включать в себя функции Хевисайда, так что преобразование Фурье выйдет в обобщенные функции...


Если мы говорим о задаче Коши по $x$ то не просто в обобщенные функции, а в обобщенные функции над пространством Жевре $\mathcal{D}_\kappa$, т.е. над более узким (и тем самым они будут более сингулярными, чем обычные). Например $\mathcal{D}'_\kappa$ включает $\sum_{n\ge 0} \frac{c^n}{(n!)^\kappa} \delta^{(n)}$.
И Вам придется разрешить $\kappa >2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение08.02.2014, 23:40 


18/02/10
254
Каюсь, первый раз слышу про пространства Жевре.
А почему Вы говорите, что по пространственным переменным плохо поставлена? Там же просто волновое уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение09.02.2014, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
ChaosProcess в сообщении #824337 писал(а):
Каюсь, первый раз слышу про пространства Жевре.
А почему Вы говорите, что по пространственным переменным плохо поставлена? Там же просто волновое уравнение.


Нет, разумеется, там не просто волновое уравнение--там сидит "вредный" член $э\partial_t$ не подчиненный главной части. Если у нас з. К. по $x$, то сделаем преобразование Фурье по $(y,t)\to (\eta,\tau)$ и найдем $\hat{u}(x,\eta,\tau)=A(\eta,\tau)e^{\xi_1 x}+B(\eta,\tau) e^{\xi_2 x}$ с $\xi_{1,2}=\pm \sqrt{\eta^2-i\eta}$ и один из этих корней имеет отрицательную мнимую часть растущую при $\tau\to\infty$ как $|\tau|^{\frac{1}{2}}$, и это показывает какого сорта обобщенной функцией будет решение и критический показатель Жевре $2=1/{\frac{1}{2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение09.02.2014, 14:56 


18/02/10
254
Red_Herring в сообщении #824383 писал(а):
Нет, разумеется, там не просто волновое уравнение--там сидит "вредный" член $э\partial_t$ не подчиненный главной части.

Извините, я думал, вы говорите про стационарное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение09.02.2014, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Поправка $\xi_{1,2}=\pm\sqrt{\eta^2-i\tau}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение10.02.2014, 15:10 


25/08/11

1074
Для задач Коши без краевых условий формула связи решений волнового уравнения и теплопроводности есть, например, в книге:
Jürgen Jost. Partial Differential Equations. Springer, 2007.
Theorem 6.3.2 P. 148-149.
Видел книгу, где эти связи долго обыгрываются в нескольких параграфах, кажется по-русски, но склероз...
А с идейной точки зрения наличие такой связи вытекает из существования явных неклассических операторов преобразования, переводящих вторую производную в первую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестационарное гиперболическое уравнение
Сообщение10.02.2014, 17:33 


25/08/11

1074
Вспомнил-формулы связи цитируются в Лаврентьеве, который уже упоминался, со ссылкой на книгу С.Г.Крейна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group