2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 BCH формулы
Сообщение05.02.2014, 20:13 


08/03/11
186
Подскажите где можно найти формулы Baker–Campbell–Hausdorff
Нужно для $C$ в случае $\exp(A) \exp(B) = \exp(C) $ и $\exp(A+B)=\exp(C) \exp (B)$

 Профиль  
                  
 
 Re: BCH формулы
Сообщение05.02.2014, 20:34 


27/11/10
206
В википедии было не суждено посмотреть? http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula

 Профиль  
                  
 
 Re: BCH формулы
Сообщение05.02.2014, 20:48 


08/03/11
186
Taus, спасибо, конечно смотрел, даже google спрашивал, но мне нужно больше членов разложения, а там могут быть ошибки.
Нужна ссылка на проверенный источник или на программы в любых мат. пакетах.

 Профиль  
                  
 
 Re: BCH формулы
Сообщение05.02.2014, 21:16 


27/11/10
206
sithif, на той же википедии приведено доказательство, которое вы можете повторить, если не уверены. Также там есть ссылки на статьи.
Ссылки на статьи, где люди численно считали коэффициенты http://www.ehu.es/ccwmuura/research/bch.pdf, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010465509001222.

 Профиль  
                  
 
 Re: BCH формулы
Сообщение06.02.2014, 03:34 


08/03/11
186
Taus, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: BCH формулы
Сообщение09.02.2014, 15:09 


08/03/11
186
Используя статью: Michael Weyraucha, Daniel Scholz, Computing the Baker–Campbell–Hausdorff series and the Zassenhaus product, предложенную Taus, и помощь Vince Diesel с операциями в Mathematica, удалось написать код для разложения $z=\log(\exp(x)\exp(y))$ (через коммутаторы). Может кому пригодится. Всем спасибо.

Изображение

(Оффтоп)

Код:
(* M.Weyrauch,D.Scholz/Computer Physics Communications 180 (2009) \
1558\[Dash]1565 *)
(* Goldberg's method *)
(* polynomial generator *)
g[1] = 1;
g[s_] := g[s] = Expand[1/s*D[t*(t - 1)*g[s - 1], t]];
c[w_] := c[w] = Module[
    {m, m1, m2, k},
    m = Length[w];
    m1 = Floor[m/2];
    m2 = Floor[(m - 1)/2];
    Integrate[t^m1*(t - 1)^m2*Product[g[w[[k]]], {k, m}], {t, 0, 1}]
     ];
BCH[n_Integer, alph_List] := Module[
   {p},
   p = Flatten[Permutations /@ IntegerPartitions[n], 1];
   Plus @@ (c[Sort[#]]*(words[#, alph] -
           (-1)^n*words[#, Reverse[alph]]) & /@ p) // Expand];
words[p_List, alph_List] := StringJoin @ (ConstantArray @@@
     Partition[Riffle[p, alph, {1, 2*Length[p], 2}], 2]);
(* polynomial converter *)
CircleTimes[a_, b_, c__] := CircleTimes[CircleTimes[a, b], c];
PolyToCom[n_Integer] := Module[
  {
   POLY, LISTA, LISTB, TMP, A, B, WORDS, ANSWER, i
   },
  POLY = Apply[List, BCH[n, {"x", "y"}]];
  LISTA = POLY[[All, 1]];
  LISTB = POLY[[All, 2]];
  TMP = StringCases[LISTB, StartOfString ~~ "xy" ~~ ___] ;
  WORDS = TMP // Flatten;
  A = LISTA[[Take[Position[TMP, x_String] // Flatten, {1, -1, 2}]]];
  B = StringCount[WORDS, "x"];
  ANSWER = A;
  Do[
   {
    ANSWER[[i]] =
     A[[i]]/B[[i]] Apply[CircleTimes,
       ToExpression[StringCases[WORDS[[i]], Repeated[_, 1]]], {0}]
    }, {i, 1, Length[WORDS]}
   ];
  Total[ANSWER]
  ]
(* EXAMPLE(S) *)
PolyToCom[2]
PolyToCom[3]
PolyToCom[4]
PolyToCom[5]
PolyToCom[6]

 Профиль  
                  
 
 Re: BCH формулы
Сообщение09.02.2014, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
sithif
Интересно, спасибо. А можно ли ёе как-нибудь приспособить к вычислению $e^{\alpha _1 A} e^{\beta _1 B} e^{\alpha _2 A} e^{\beta _2 B} ...e^{\alpha _K A} e^{\beta _K B} $?

 Профиль  
                  
 
 Re: BCH формулы
Сообщение10.02.2014, 17:51 


08/03/11
186
Утундрий, для такой задачи мне не очевидно как это можно сделать.
Можно попробовать свернуть попарно и при этом работать с полиномами, а результат последней пары привести к коммутаторам.
У вас работает тождество: $\exp(-A) \exp(B) \exp(A) = \exp(\exp(-A)B)$? Последним можно сократить число пар.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group