2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение25.11.2013, 07:54 


15/12/05
754
Попробую поискать ошибки и упущения на примере показателя n=3

В результате двух шагов по рекурсии должно получиться уравнение, в котором $z^3$ имеет множитель $3^5$, который не является кубом.
(1.1.1)
$$x^3+(8x+9(8x+9y_2))^3=z^3$$
$$81(x+y_2)^2(81(x+y_2)^2(9(8x+y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение25.11.2013, 09:05 


15/12/05
754
ananova в сообщении #792391 писал(а):
Попробую поискать ошибки и упущения на примере показателя n=3
$$81(x+y_2)^2(81(x+y_2)^2(9(8x+y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$


Пропустил 9 без ущерба, но надо поставить на место
$$81(x+y_2)^2(81(x+y_2)^2(9(8x+9y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение25.11.2013, 14:52 


15/12/05
754

(Оффтоп)

Прошу двойное прощение - не верно раскрыл скобки. Не могу без ошибок. Привожу заново последние сообщения! ВСЕ перепроверил.


Попробую поискать ошибки и упущения на примере показателя n=3

В результате двух шагов по рекурсии должно получиться уравнение, в котором $z^3$ имеет множитель $3^5$, который не является кубом.
(1.1.1)
$$x^3+(8x+9(8x+9y_2))^3=z^3$$
(1.1.2)
$$81(x+y_2)(81(x+y_2)(9(8x+9y_2)+6x)+3x^2)=z^3$$

Протестировал на примере..
При $x=1$ и $y_2=5$ оба вычисления совпали $= 114084126$

Примечание. Данное число, делится на $3^6$, т.к. $(x+y_2=1+5)$ содержит множитель 3. Но (по уже упоминавшимся соотношениям Барлоу) $(x+y_2)$ является кубом, поэтому не может содержать один множитель 3. Что согласуется с ранее сделанными доказательствами и предположениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение25.11.2013, 15:53 


15/12/05
754
В общем случае, из найденного решения (для $y$), легко найти значение $y_2$, воспользовавшись соотношением: $y=8x+9(8x+9y_2)$

$$y_2=\frac {y-80x} {81}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение25.11.2013, 20:18 


15/12/05
754
Согласно известных соотношений Барлоу (подробнее см. книгу Рибенбойма), $z^3$ можно рассматривать как произведение кубов $z_1^33^{3k}z_2^3$, где $k=1, 2, 3 \ldots$ . При этом $(x+y)=z_1^33^{3k-1}$. При разных значениях $k$ имеются различия в доказательствах. Я не учел этого и попробую восполнить этот пробел.

Рассмотрим корректность преобразования переменной $y$ (или $x$) c минимальным использованием рекурсивного подхода. Конкретно остановимся на преобразованиях переменной $y$.
(1)
$$z^3=x^3+y^3=(x+y)((x+y)(y-2x)+3x^2)$$

1) Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ равен $a$. Если $(a,3)=1$.
Тогда для Случая 2, решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+a) \Rightarrow (x+y)=(3x+a)$. При заданном условии такое число не делится на 3.

2) Рассмотрим альтернативный вариант. Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ делится на 3, например $a=3w$. Если $(w,3)=1$.
Тогда для Случая 2 решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+3w) \Rightarrow (x+y)=(3x+3w)$. Такое число делится на 3, но не делится на $3^{2k}$.

3) Пусть внутренний множитель $y=(2x+3w)$ равен $$y=(8x+9y_2)\Rightarrow (x+y)=(9x+9y_2)$$$$\Rightarrow y=(2x+3w)=(8x+9y_2)\Rightarrow y_2 = \frac {6x-3w} {9}$$
Мы пришли к рациональному виду числа $y_2$. Если переназначить $y$ так: $y=(8x+9y_2)$, то вариант возможного доказательства ВТФ был показан в предыдущем посте.

4) У нас есть еще много интересных случаев, которые нужно рассмотреть. Например: $(x+y)=(3^5x+3^5y_4)$. Поступаем по проверенной схеме - пусть $$y=((3^5-1)x+3^5y_4)$$ Выполняем подстановки, возможно, начиная с начального этапа, когда $y-2x=a$. Последовательно подходим к $y=((3^5-1)x+3^5y_4)$.
Далее представляем эту переменную, через рекурсию $y=((3^5-1)x+3^5((3^5-1)x+3^5y_5))$.
Вот тут надо еще раз остановится и перепроверить. Если ошибок нет, то доказывается, как в предыдущем посте, т.е. переходом на очередной шаг рекурсии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение26.11.2013, 10:50 


15/12/05
754
ananova в сообщении #792586 писал(а):
4) У нас есть еще много интересных случаев, которые нужно рассмотреть. Например: $(x+y)=(3^5x+3^5y_4)$. Поступаем по проверенной схеме - пусть $$y=((3^5-1)x+3^5y_4)$$ Выполняем подстановки, возможно, начиная с начального этапа, когда $y-2x=a$. Последовательно подходим к $y=((3^5-1)x+3^5y_4)$.
Далее представляем эту переменную, через рекурсию $y=((3^5-1)x+3^5((3^5-1)x+3^5y_5))$.
Вот тут надо еще раз остановится и перепроверить. Если ошибок нет, то доказывается, как в предыдущем посте, т.е. переходом на очередной шаг рекурсии.

$$x+y=((3^5-1)x+3^5((3^5-1)x+3^5y_5))= 3^{10}(x+y_5)$$
Это противоречит изложенному ранее
ananova в сообщении #792586 писал(а):
Согласно известных соотношений Барлоу (подробнее см. книгу Рибенбойма), $z^3$ можно рассматривать как произведение кубов $z_1^33^{3k}z_2^3$, где $k=1, 2, 3 \ldots$ . При этом $(x+y)=z_1^33^{3k-1}$.


Следовательно есть смысл продвигаться дальше и найти лаконичные формулировки для нового доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение11.12.2013, 06:38 
Заблокирован


27/09/10

248
Россия г.Тюмент
ananova в сообщении #792811 писал(а):
$z^3$ можно рассматривать как произведение кубов $z_1^33^{3k}z_2^3$, где $k=1, 2, 3 \ldots$ . При этом $(x+y)=z_1^33^{3k-1}$.

Не только может, но даже и недолжно, z просто обязано таковым быть. Без всяких соотношений Барлоу

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение16.12.2013, 15:47 


27/03/12
449
г. новосибирск
Уважаемый anonava! Вы пишете

1) Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ равен $a$. Если $(a,3)=1$.
Тогда для Случая 2, решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+a) \Rightarrow (x+y)=(3x+a)$. При заданном условии такое число не делится на 3.

2) Рассмотрим альтернативный вариант. Пусть внутренний множитель $(y-2x)$ делится на 3, например $a=3w$. Если $(w,3)=1$.
Тогда для Случая 2 решений нет и ВТФ верна. Действительно $y=(2x+3w) \Rightarrow (x+y)=(3x+3w)$. Такое число делится на 3, но не делится на $3^{2k}$.

3) Пусть внутренний множитель $y=(2x+3w)$ равен $$y=(8x+9y_2)\Rightarrow (x+y)=(9x+9y_2)$$$$\Rightarrow y=(2x+3w)=(8x+9y_2)\Rightarrow y_2 = \frac {6x-3w} {9}$$

Это все не так.

1. При $(X + Y, 3) =3$ и $(XY,3)=1$ всегда $(Y -2X, 3) =3$.

2.$(3X + 3w)$ делиться $3^{3K-1}$.

3. $Y_2 =\frac {3w-6X} {9}$ - число целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение22.01.2014, 18:56 


15/12/05
754
Чтобы не потерялась откорректированная запись уравнения, решил скопировать ее из соседней темы (может пригодится):
http://dxdy.ru/post796304.html#p796304

$$x^3 +((3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}w)^3=(3^{3k-1}x+3^{3k-1}w)((3^{3k-1}x+3^{3k-1}w)((3^{3k-1}-3)x+3^{3k-1}w)+3x^2)=z^3$$
При $k=1$ имеем такую композицию множителей:
$$x^3 +(8x+9w)^3=(9x+9w)((9x+9w)(9x+9w-3x)+3x^2)=z^3$$
Рассмотрел случай $z=y+1=8x+9w+1$. Попробовал выразить $w$ через $x$.

Для чего открыл Microsoft Mathematics и построил два графика уравнений:
$f(x,w)=x^3 +(8x+9w)^3$ и $f(x,w)=(8x+9w+1)^3$
Графики этих функций расходятся. Можете прокомментировать в чем тут дело?

 Профиль  
                  
 
 Re: Удобная запись уравнения ВТФ для доказательства Случая 2
Сообщение22.01.2014, 21:25 


15/12/05
754
Сорри. Нашел точку пересечения графиков..

Для $w$ относительно $x$ у Microsoft Mathematics имеется два решения. Имеются ввиду решения не в целых числах. Для $x >1$:

1) $w=\frac {\sqrt[2]{972x^3-243}} {486}-\frac {8x} 9-\frac 1 {18}$
2) $w= \frac {-\sqrt[2]{972x^3-243}} {486}-\frac {8x} 9-\frac 1 {18}$

Остается только отметить, что $w$ - должны быть целым (касательно ВТФ).

Если возвести одно из решений в квадрат, то получится нечто похожее на уравнение Мордела:

$w^2=\frac {x^3}{243}-\frac{8x\sqrt[2]{972x^3-243}}{2187}+\frac {64x^2}{81}-\frac {\sqrt[2]{972x^3-243}}{4374}+\frac {8x}{81}+\frac 1 {486}$

Надеюсь, что на форуме найдутся специалисты, которые смогут доказать, что $w$ не может принимать целые значения, когда $x$ - целое положительное число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group