2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Степени дюжины
Сообщение19.01.2014, 00:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Решить в натуральных числах уравнения:

а) $$n!+m!=12^k$$

б) $$n!-m!=12^k$$

в) $$n!\cdot m!=12^k$$

г) $$n!\text{.}m!=12^k$$
(символ "." обозначает конкатенацию)

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени дюжины
Сообщение19.01.2014, 19:44 


15/12/13
5
а)n=4 m=5 k=2
в)n=2 m=3 k=1

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени дюжины
Сообщение19.01.2014, 21:37 


16/03/11
844
No comments
Первые две решаются одинаково.
1) Пусть для определенности $n \ge m$ Тогда При m>4 нет решений, т.к левая часть в этом случае будет оканчиваться на 0. И если $1<m<4$ то левая часть при $n \ge 4$ делится только на 2, но она должна делится хотя бы на 4. Если m=1, то и n=1. Очевидно это нам не подходит. Остался случай, когда m=4
m=4.
$$n!+24=12^k$$
При n>5 левая часть делится на 8 но не делится на 16, значит k=3. Но тогда нет решений.
Остались 2 случая n=5 и n=4. Получим одно решение, при n=5.
Я так думаю что-то в этом духе и в пункте б)

-- Вс янв 19, 2014 21:49:41 --

В третей совсем просто тогда Оба они меньше 5-ти. Тогда произведение меньше чем $12^3$ Причем если Убрать случай, когда m=n=4, в котором получаем, что решений нет, то тогда их произведение не меньше $12^2$. Равенство достигается при m=4, n=3. Ну и получаем, что $m!\cdot n!=12$ легко найти единственную пару m=3, n=2 и конечно же можно и наоборот взять числа. Получим 4 решения (3;4),(4;3),(2;3),(3;2)

-- Вс янв 19, 2014 22:04:56 --

В пункте г) 1<m<5 очевидно. Если m!=2 или 6, то тогда предпоследняя цифра числа n!_{\cdot}m! должна быть нечетной, что бы оно делилось на 4. Тогда n=1. Получим 1 решение m=2, n=1, k=1
Остался случай, когда m=4. Тогда если n>9 получаем что число делится на 8 но не делится на 16. Значит k=3 очевидно этот случай нам не подходит. Тогда n<10 перебираем... И получаем, что в этом случае решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени дюжины
Сообщение19.01.2014, 23:17 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
danilka666 в сообщении #816700 писал(а):
а)n=4 m=5 k=2
...

А второе решение пункта a) Вы потеряли :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени дюжины
Сообщение19.01.2014, 23:56 


16/03/11
844
No comments
Ktina в сообщении #816807 писал(а):
danilka666 в сообщении #816700 писал(а):
а)n=4 m=5 k=2
...

А второе решение пункта a) Вы потеряли :-(

Ах да. В самом начале при $1<m<4$ получили, что $n<4$. Получим еще 1 решение (3;3;1)

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени дюжины
Сообщение20.01.2014, 00:49 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пункт а):

При $k\geqslant 3$ одному из двух факториалов придётся делиться на 9, так как все факториалы, начиная с $6!=720$, делятся на 9.
Но тогда и второму факториалу тоже придётся делиться на 9, ведь все степени 12, начиная со второй, кратны 9.
Только вот если факториал делится на 9, то он неизбежно делится и на 5, откуда немедленно следует отсутствие решений для $k\geqslant 3$.
Остальное -- перебором:
$3!+3!=12^1$
$5!+4!=12^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени дюжины
Сообщение21.01.2014, 00:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пункт б):

Ответ: Решений нет.

Если $k=1$, то перебором находим, что нет двух факториалов с разностью 12.
При остальных $k$ если $n!$ кратно 9, то и $m!$ должно быть кратно 9, но тогда они оба кратны 5, что невозможно.
Если же $n<6$, то $12^k$ меньше 120, что возвращает нас к случаю $k=1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group