ФЛФ т.6 интеграл по траектории

[exitone]

Цитата из ФЛФ т6 главы 15 параграфа 5

Цитата:

Теперь мы хотим сформулировать тот закон, которым в квантовой механике заменяется закон силы $F = q \vec{v}\times \vec{B}$. Этот закон будет определять собой поведение квантовомеханических частиц в электромагнитном поле. Раз все происходящее определяется амплитудами, то закон должен будет объяснить, как сказывается на амплитудах влияние магнитного поля; с ускорениями же частиц мы больше никакого дела иметь не будем. Закон этот состоит в следующем: фазу, с какой амплитуда достигает детектора, двигаясь по какой-то траектории, присутствие магнитного поля меняет на величину, равную интегралу от векторного потенциала вдоль этой траектории, умноженному на отношение заряда к постоянной Планка. То есть

Изменение фазы под влиянием магнитного поля = q/\hbar \int\limits\vec{A}d\vec{s}

Под интегралом еще написано "траектория".

Что человек понимает под словами "двигаясь по какой-то траектории " и "величину, равную интегралу от векторного потенциала вдоль этой траектории"?

[exitone]

точнее, как мне нужно понять слово траектория?

[Munin]

Чёрт возьми, я знаю, как это объяснить сложно, но не знаю, как просто. Это описано в ФЛФ томах 8-9. А вы пока 6-й читаете.

[exitone]

Я интересовался эффектом Ааронова-Бома, и мне посоветовали посмотреть в этом месте ФЛФ, т.к. там все на пальцах объяснено... т.е. конкретно шестой том сейчас меня не сильно интересует:).
Попробуйте объяснить по сложному, если не лень; или подскажите, где примерно посмотреть о моем вопросе. В оглавлении 8-9 не обнаружил векторного потенциала.

[Munin]

Странно, что вам посоветовали ФЛФ, я бы поинтересовался, почему именно.

Имхо, самое простое и быстрое введение в Ааронова-Бома - это статья в Физической Энциклопедии. Рекомендую.

Векторного потенциала в 8-9 нет, но он там и не нужен. В истории с путями он играет третьестепенную роль. А в Ааронове-Боме - сами пути играют третьестепенную роль. Зато векторный потенциал магнитного поля - первостепенную. Вы уж определитесь, вам то или другое.

Если вы знаете квантовую механику, скажем, в объёме первых глав ЛЛ-3, вам никакие пути для Ааронова-Бома не нужны. Достаточно уравнения Шрёдингера в магнитном поле, как в § 111, даже без спина.

[espe]

exitone в сообщении #814681 писал(а):

как мне нужно понять слово траектория?

Как обычно $\vec{s}(t)=(x(t),y(t),z(t)).$

exitone в сообщении #814755 писал(а):

подскажите, где примерно посмотреть о моем вопросе.

Посмотрите Райдер «Квантовая теория поля» § 3.4.

[exitone]

Munin, спасибо за советы относительно эффекта АБ(кстати, где можно почитать по-поводу него подробней?). Все же интересно, что Фейнман понимает под траекторией.

espe, если все так, как Вы говорите, то что делать с соотношением неопределенностей?

[Ms-dos4]

exitone
Прочитайте для начала здесь там как раз про к.м. в виде интегралов по траекториям, вот то что спрашиваете вы, это приблизительно (ну во всяком случае по смыслу похоже, мне трудно объяснить) то же, а конкретнее позволяет находить смещение фазы под влиянием поля.

[Munin]

Ну, сразу Райдера.

Я бы предложил Фейнмана для начала, "Квантовую механику и интеграл по траекториям" (Фейнман, Хибс).

-- 16.01.2014 15:25:25 --

Ещё по калибровочным полям чего-нибудь популярное, например, Коноплёва, Попов "Калибровочные поля" § 1.

-- 16.01.2014 15:27:05 --

exitone в сообщении #815087 писал(а):

относительно эффекта АБ(кстати, где можно почитать по-поводу него подробней?)

Конкретно про АБ - не знаю. Собственно, сам эффект не составляет целой большой теории. Ну, там экспериментальные подробности могут быть интересны, для них - лучше читать оригинальную статью.

exitone в сообщении #815087 писал(а):

Все же интересно, что Фейнман понимает под траекторией.

Буквально любую линию от начала к концу движения. В классической физике только одна из таких линий является истинной траекторией движения, а в квантовой физике, оказывается, надо учитывать все. Правда, их вклады почти все взаимно сокращаются - но именно за счёт того, что они изначально все учитываются.

-- 16.01.2014 15:29:18 --

P. S. И совсем популярные объяснения (слабее, чем учебник) - это популярные лекции Фейнмана "КЭД: странная теория света и вещества". Там, правда, долго говорится только про фотоны, но на самом деле, это относится к любым квантовым частицам (и даже квантовым системам), как уточняется ближе к концу.

[espe]

Munin в сообщении #815149 писал(а):

Ну, сразу Райдера.

Я бы предложил Фейнмана для начала, "Квантовую механику и интеграл по траекториям" (Фейнман, Хибс).

Это долгий путь. Быстрее будет сразу прочитать у Райдера. В этом параграфе ещё нет КТП, только квантовая механика, всего страниц 5. Всё подробно и (надеюсь для ТС) понятно написано.

exitone в сообщении #815087 писал(а):

espe, если все так, как Вы говорите, то что делать с соотношением неопределенностей?

Ничего не делать, оно здесь ни при чём. Если Вы ищете амплитуду перехода частицы из точки $x_0$ в момент времени $t_0$ в точку $x$ в момент времени $t$, то амплитуда перехода приближённо будет равна $\langle x_0,t_0|x,t\rangle\equiv\Psi(x,t)\approx\psi(x,t)=e^{iS(x,t|x_0,t_0)/\hbar},$ где $S(x,t|x_0,t_0)$ -- классическое действие, вычисленное на классической траектории от $(x_0,t_0)$ до $(x,t)$. Если возможны несколько классических траекторий (точнее экстремумов у действия), то будет сумма по всем ним $\Psi(x,t)\approx\sum_{\text{по всем класс. траекториям}}\psi_i(x,t)$. В рассматриваемом случае будет две классические траектории и $\Psi(x,t)\approx\psi_1(x,t)+\psi_2(x,t)$.

Часть действия отвечающая за взаимодействие частицы с э-м полем имеет вид $q\int\!\! A_\mu dx^\mu,$ поэтому волновые функции $\psi^{(0)}_i(x,t)$ когда нет э-м поля и $\psi_i(x,t)$ когда э-м поле есть будут отличаться на фазу $\psi_i(x,t)=\psi^{(0)}_i(x,t)e^{i\alpha},$ где $\alpha=(q/\hbar)\int\!\! A_\mu dx^\mu$ и интеграл вычисляется вдоль классической траектории.

Дальше всё как у Фейнмана, Райдера или ещё кого-нибудь.

[Munin]

(Оффтоп)

Надо Райдера, что ли, почитать... видимо, он у меня с кем-то ещё перепутался.

[exitone]

Открыл в ЛЛ квазиклассическое приближение
и нашел там, что если в УШ вида (для простоты одномерный)
$-\frac{\hbar}{2m}\psi'' + (U-E)\psi = 0 $
сделать замену переменной
$\psi = e^{\frac{i\sigma}{\hbar}}$
то можно получить уравнение для $\sigma$
$\frac{1}{2m} \sigma'^2 - \frac{i\hbar}{2m}\sigma'' = E - U$.
В первом приближении
$\sigma_0 = \pm \int \sqrt{2m(E-U)}dx = \pm \int p(x)dx$
В ЛЛ написано, что $\int pdx$ есть независящая от времени часть действия. (espe, Вы поэтому написали действие в экспоненте?)

судя по обозначению $\sigma/\hbar$ это и есть фаза.
Тогда подставляя обобщенный импульс для частицы в ЭМ поле получим
$\varphi =\pm \frac{1}{\hbar} \int [ mv dx - qAdx] = \varphi_0 + \Delta \varphi$

espe в сообщении #815248 писал(а):

Ничего не делать, оно здесь ни при чём. Если Вы ищете амплитуду перехода частицы из точки $x_0$ в момент времени $t_0$ в точку $x$ в момент времени $t$, то амплитуда перехода приближённо будет равна $\langle x_0,t_0|x,t\rangle\equiv\Psi(x,t)\approx\psi(x,t)=e^{iS(x,t|x_0,t_0)/\hbar},$ где $S(x,t|x_0,t_0)$ -- классическое действие, вычисленное на классической траектории от $(x_0,t_0)$ до $(x,t)$.

espe Ваше приблизительно-равно, как раз-таки и говорит о переходе к квазиклассическому случаю?

[Munin]

exitone в сообщении #815327 писал(а):

(espe, Вы поэтому написали действие в экспоненте?)

Да. Это всё одно и то же, в виде сбоку, сверху, и т. п.

exitone в сообщении #815327 писал(а):

espe Ваше приблизительно-равно, как раз-таки и говорит о переходе к квазиклассическому случаю?

Да.

-- 16.01.2014 22:43:59 --

Кстати, espe, а не расскажете ли о связи топологий Ааронова-Бома и монополя Полякова-'т Хоофта? Почему монополь магнитно заряжен, а вокруг соленоида в АБ магнитного поля нет?

-- 16.01.2014 22:54:37 --

Да, я присоедияюсь к голосу за § 3.4 Райдера. Если последние страницы параграфа не читать, где топология пошла :-)

[exitone]

А кстати, причем тут Фейнмановские интегралы по траекториям? У этого представления тоже есть переход к классическому случаю?

[Munin]

Да. Это когда рассматриваются траектории, находящиеся близко от одной траектории - классической, доставляющей минимум действия. Эта траектория с её ближайшими соседями находится в усиливающей интерференции, и даёт максимальный вклад в амплитуду, а при удалении от классической траектории разные траектории начинают взаимно сокращать друг друга, находятся в гасящей интерференции и дают только малые поправки к амплитуде, аналогично первой и последующим зонам Френеля в теории дифракции.