лист Мебиуса-геометрический парадокс.

[romanov59]

Лист Мебиуса сделать легко. Взять полосу бумаги, один конец развернуть на 180 градусов и соединить концы. Проведя пальцем по поверхности, один оборот окажешься с противоположной стороне листа. Проведя еще оборот окажешься в точке начала. Ни ротор, ни дивергенция, ни градиент не объяснят отличие точки с одной стороны листа от точки с другой стороны листа. Невозможно при помощи одинаковых геометрических точек описать отличие точек с двух сторон листа. В идеале толщина двумерной поверхности составляет одну точку. И сфера тоже толщиной в одну точку: нельзя указать две точки на сфере, которые были бы на разных этажах. Но сфера ориентируема, у неё две стороны. А лист Мёбиуса - нет, у него одна сторона. И этажность появляется. Как при толщине листа стремящемся к нулю, т. е. неразличимости точек, сделать два оборота и попасть в точку начала?

[nikvic]

(Оффтоп)

В тему -
Вчера я предложил готовить мёбиус-оладьи: их не нужно переворачивать при жарке

[iifat]

(Оффтоп)

Если, конечно, сковорода в виде бутылки Клейна, нет?

[provincialka]

romanov59, ваш вопрос непонятен.

[mihailm]

(Оффтоп)

Бутылка Клейна замкнутая поверхность, нельзя в ней жарить - взорвется.
Нужна сковорода Клейна!

[romanov59]

Непонятно чем точка с одной стороны листа отличается от точки с другой стороны. Сделав оборот окажешься в той же точке или в другой ?

[arseniiv]

Для начала, сторона — это не множество точек. Нельзя сказать, что точка какой-то поверхности принадлежит какой-то её «стороне». И у сферы, и у листа Мёбиуса нет никаких «слоёв».

Ориентируемость сферы означает следующее: пусть мы выбрали какую-то точку сферы и какое-то из двух направлений нормали в этой точке. Тогда, как бы мы не двигали эту точку по сфере, изменяя соответствующтй вектор нормали непрерывно, мы не сможем, попав в исходную точку, получить нормаль, противонаправленную исходной. Никогда. А взяв лист Мёбиуса, сможем. Это вы и делаете, водя пальцем — палец как раз «изображает» здесь направление нормали.

[Munin]

Удобнее описывать ориентируемость не при помощи нормали, а при помощи векторов, лежащих в самой поверхности. Возьмём точку, и отложим от неё два единичных вектора, перпендикулярных друг другу. Пусть они будут бесконечно маленькими, чтобы не "высовываться" из поверхности. Такие два вектора задают репер в этой точке. Разумеется, векторы в репере упорядочены: мы знаем, какой из них "первый", а какой "второй".

Если мы смотрим на точку с одной стороны поверхности, то векторы в репере образуют правую систему: поворот от "первого" ко "второму" идёт против часовой стрелки, как от оси $x$ к оси $y$ на обычной координатной плоскости. Но если мы посмотрим на ту же точку с другой стороны поверхности, то мы увидим левую систему.

Когда мы путешествуем по поверхности, то мы можем переносить с собой репер. Пусть он при этом может поворачиваться как целое - нас это не волнует. Главное, что угол между его векторами остаётся $\pi/2.$ Тогда репер будет задавать нам ориентацию, он позволит перенести ориентацию из одной точки поверхности в другую.

Путешествуя по сфере, мы всегда вернёмся в исходную точку с репером, ориентированным так же, как и в начале путешествия. Именно это означают слова, что сфера - ориентируемая поверхность (ориентацию можно разнести из одной точки по всем точкам). А вот путешествуя по листу Мёбиуса, мы можем вернуться в исходную точку с репером, ориентированным наоборот. И это означает, что лист Мёбиуса - неориентируемая поверхность. Бутылка Клейна, проективная плоскость - тоже неориентируемые поверхности (в отличие от листа Мёбиуса, они без края).

Такое понятие ориентируемости легко распространить на любое количество измерений. Репер будет содержать столько векторов, сколько требует внутренняя размерность пространства. Так что, можно представить себе неориентируемое трёхмерное пространство, четырёхмерное, и т. д.

[arseniiv]

Угу, нормаль получается отсюда с помощью звёздочки Ходжа.

[Munin]

Сначала надо во что-то всё вложить. Потом уже брать звёздочку Ходжа. И зачем, спрашивается.

[migmit]

Munin в сообщении #814975 писал(а):

Сначала надо во что-то всё вложить. Потом уже брать звёздочку Ходжа. И зачем, спрашивается.

Чтобы соответствовало пальцу. А то на нормаль палец похож, а на репер - не очень.

[provincialka]

Вместо пальца можно использовать перчатку. Правую, например. Так сказать "утопленную" в поверхность. Тогда "с обратной стороны" она будет выглядеть как левая. И если поверхность ориентируемая, то никаким перемещением правую перчатку с левой не совместишь. А на листе Мёбиуса - можно.

romanov59, я в детстве читала книгу С.П.Боброва "Волшебный двурог", там про лист М. рассказывается весьма подробно (конечно, на популярном уровне, для школьников). Очень рекомендую, она не только математически интересная, но и художественно написана. Первое издание было 1949 г., но книжка не потеряла актуальности. Была переиздана в 2006 г.

[Munin]

migmit в сообщении #815106 писал(а):

Чтобы соответствовало пальцу. А то на нормаль палец похож, а на репер - не очень.

Идея как раз в том, что палец - несовершенный инструмент для исследования.

[Aritaborian]

(provincialka)

provincialka в сообщении #815125 писал(а):

я в детстве читала книгу С.П.Боброва "Волшебный двурог"

У меня есть издание 1967 г. ;-)

[provincialka]

(Двурог)

Aritaborian в сообщении #815144 писал(а):

provincialka в сообщении #815125 писал(а):

я в детстве читала книгу С.П.Боброва "Волшебный двурог"

У меня есть издание 1967 г.

Поздравляю! Мне отец брал из библиотеки, первое издание. Хотя, конечно, и второе могла бы читать в детстве. На нем вроде бы написано, что оно переработанное. Сейчас скачала, посмотрю.