2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение10.01.2014, 17:58 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Можно сначала. В обычном случае кинетическая энергия тела это $$T=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+\frac{m}{2}r^{2}\dot{\varphi}^{2}$$
В релятивистском же случае:
$$T=mc^{2}(\gamma-1);\gamma=\left (1-(\dot{r}/c})^{2} \right) ^{-1/2}$$
Каким здесь образом выделить радиальную и угловые части энергии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение10.01.2014, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
У вас там вектор $\dot{\mathbf{r}}$ стоит под квадратом, а он на самом деле раскладывается в радиальную и угловую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение10.01.2014, 18:46 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
lucien, спасибо,но к превеликому сожалению, мне пока что непосильно "осознание и понимание" того, что там описано.
Просто очень жаль, что моих знаний недостаточно в полной мере, чтобы решать подобные задачи.
Поэтому я и попросил помощь на этом форуме; пишу в сообщениях свои мысли и спрашиваю, верны ли они.

Munin, получается $\dot{\vec{r}}=d(r \vec{e}_{r})/dt=\dot{r}\vec{e}_{r}+r\vec{e}_{\varphi}\dot{\varphi}$.
А как далее из этого выразить из кинетической энергии радиальную и угловую части по отдельности?
Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение10.01.2014, 19:08 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Я бы вам посоветовала стартовать с лагранжиана
$$
L=-m\sqrt{1-v^2}-U,
$$
где в качестве координат рассматривать $r$ и $\varphi$. $\varphi$ -- циклическая координата, отсюда получаете момент. Далее из уравнения на $r$ исключаете $\dot{\varphi}$ с помощью найденного интеграла момента и находите эффективный потенциал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение10.01.2014, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Omega в сообщении #812577 писал(а):
А как далее из этого выразить из кинетической энергии радиальную и угловую части по отдельности?

Да возведите вектор в квадрат!

lucien
Посмотрите задачник. Непохоже, чтобы там подразумевалось использование лагранжева формализма. Он какой-то более простой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение12.01.2014, 07:06 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Получается, что:
$$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}}$$
А что же делать дальше? Как найти радиус орбиты в л.с.о., и каким образом мне нужно использовать выражение для энергии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение12.01.2014, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Omega в сообщении #813194 писал(а):
Получается, что...

И зачем вы выкинули часть $\dot{r}$? Нужно всю гамму подставлять в выражение для $T,$ и раскладывать его по $\dot{r}$ как по малому параметру, чтобы вытащить его в числитель. Тогда у вас будет выражение, аналогичное нерелятивистскому, плюс поправки высших степеней, которыми пренебрежём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение12.01.2014, 17:54 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Ещё раз спасибо Вам, Munin. То есть:
$$\gamma(\dot{r})\approx \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}}+\dfrac{\dot{r}^{2}}{2c^{2} \left (1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}  \right)^{3/2}}}$$
Поэтому далее:
$$T=mc^{2} \left (\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}}-1 \right)+\dfrac{m\dot{r}^{2}}{2 \left (1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}  \right)^{3/2}}}$$
Верно ли я понимаю, что далее радиальная кинетическая энергия не нужна?
Поэтому дальше получается следующее: $$L=\gamma m r^{2} \dot{\varphi} \Rightarrow r\dot{\varphi}=\dfrac{Lc}{\sqrt{L^{2}+m^{2}r^{2}c^{2}}} \Rightarrow T=\left (\sqrt{\dfrac{L^{2}}{r^{2}c^{2}}+m^{2}} -m\right)c^{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение12.01.2014, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Omega в сообщении #813393 писал(а):
Верно ли я понимаю, что далее радиальная кинетическая энергия не нужна?

Ну, приберегите её. Видите, у неё какой-то коэффициент вылез, кроме массы. Он повлияет на частоту малых колебаний.

Теперь, сумма исходного и центробежного потенциала будет эффективным потенциалом. Малые колебания происходят в нём около минимума. Надо найти сам минимум и вторую производную эффективного потенциала в нём. Это будет коэффициент жёсткости пружинного маятника. А масса пружинного маятника - будет как коэффициент в радиальной кинетической энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение13.01.2014, 07:22 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Хорошо. Тогда:
$$U_{\text{эфф}}=-\dfrac{\alpha}{r}-\dfrac{\beta}{r^{2}}+\left (\sqrt{\dfrac{L^{2}}{r^{2}c^{2}}+m^{2}} -m\right)c^{2}
$$
$$\begin{cases}\dfrac{dU_{\text{эфф}}}{dr}=0\\\dfrac{d^{2}U_{\text{эфф}}}{dr^{2}}>0\end{cases}\Rightarrow r_{0}=... \left( \alpha+2\,{\frac {\beta}{r}} \right) ^{2}={L}^{4} \left( {\frac {{L}^{2}}{{c}^{2}}}+{m}^{2}{r}^{2} \right) ^{-1}$$
А после: $$k=\left \dfrac{\partial^{2}U_{\text{эфф}}}{\partial r^{2}} \right|_{r=r_{0}}=\left {\frac {\alpha}{{r}^{3}}}-{\frac { \left( \alpha\,r+2\,\beta \right) ^{3}}{{L}^{2}{r}^{6}{c}^{2}}}\right|_{r=r_{0}}$$
$$M=\dfrac{m}{\left (1-\dfrac{r_{0}^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}  \right)^{3/2}}}={\frac { \left( {L}^{2}+{m}^{2}{c}^{2}{r}^{2}\right) ^{3/2}}{{m}^{2}{c}^{3}{r}^{3}}}$$
$$\omega^{2}=\dfrac{k}{M}$$

Как-то так ведь, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение13.01.2014, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да. Теперь реализуете эту схему: из первого уравнения достаёте $L(r_0)$ (или удобней будет $r_0(L)$?), и подставляете в последние два выражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Радиальные колебания
Сообщение13.01.2014, 11:46 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
$$\left( \alpha+2\,{\frac {\beta}{r}} \right) ^{2}={L}^{4} \left( {\frac {{L}^{2}}{{c}^{2}}}+{m}^{2}{r}^{2} \right) ^{-1}$$
Вы имеете в виду вот это уравнение? Если да (...в поисках $r_{0}=r_{0}(L)$ ), то оно четвёртой степени и совсем не легко проверяется на лишние корни, плюс к тому, корень должен удовлетворять минимуму эффективного потенциала, что проверяется ещё более не лёгким способом.
Неужели "ничего страшного" ? :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group