2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 10:27 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Помогите пожалуйста с решением следующей задачи:
В электрон-позитронных столкновениях с различной энергией встречных пучков $E_{1} \neq E_{2}$ происходит процесс $e^{+}+e^{-} \rightarrow \Psi' \rightarrow \tau^{+}+\tau^{-}$.
Масса $\Psi'$-мезона $3,7$ ГэВ. Масса $\tau$-лептона $1,8$ ГэВ, время жизни $t= 3 \cdot 10^{-13}$ с.
Каким должно быть отношение энергий встречных пучков, чтобы в случае симметричного разлета $\tau$-лептоны успевали отлететь от места рождения в среднем на расстояние $L=5 \cdot 10^{-5}$ м?

Мои рассуждения следующие: находим импульс одного из $\tau$-лептона в системе движущегося до распада $\Psi'$-мезона, переходим в лабораторную систему отсчёта и через преобразования энергии и импульса находим скорость $\tau$-лептона, которую в свою очередь можно найти, зная дальность полёта...

Но прежде, чем привести свои выкладки, я хотел бы узнать: правильно ли полагать, что в в системе движущегося до распада $\Psi'$-мезона, оба $\tau$-лептона разлетелись с одинаковыми импульсами в строго противоположные стороны под прямым углом к направлению движения $\Psi'$-мезона?

Всем заранее спасибо за комментарии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Omega в сообщении #811226 писал(а):
Но прежде, чем привести свои выкладки, я хотел бы узнать: правильно ли полагать, что в в системе движущегося до распада $\Psi'$-мезона, оба $\tau$-лептона разлетелись с одинаковыми импульсами в строго противоположные стороны под прямым углом к направлению движения $\Psi'$-мезона?

Да. Если "направление движения" подразумевается в лабораторной с. о.

Наверняка, я думаю, и решили правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 11:11 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Munin в сообщении #811229 писал(а):
Omega в сообщении #811226 писал(а):
Если "направление движения" подразумевается в лабораторной с. о.

Именно так. А это мои самые рассуждения, но в виде формул. Прошу пожалуйста строго не судить, но верно ли всё? Хотя бы на первый взгляд..?

Используем следующее соотношение: $$\gamma_{u}\beta_{u}=\dfrac{L}{tc}$$
Где $u$ - скорость $\tau$-лептона в лабораторной системе отсчёта.
Далее: $$\dfrac{\beta_{u}^{2}}{\sqrt{1-\beta_{u}^{2}}}=\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2} \Rightarrow u=\dfrac{L/t}{\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}}$$
Запишем закон сохранения 4-вектора энергии-импульса для распада $\Psi'$-мезона в сопутствующей ему системе отсчёта:
$$\vec{P}_{\Psi'}=\vec{P}_{\tau_{1}}+\vec{P}_{\tau_{2}} \Leftrightarrow M_{\Psi'}^{2}c^2=2m_{\tau}^{2}c^{2}+2 \left (\dfrac{E_{\tau}^2}{c^{2}}+p_{\tau}^{2} \right)$$
Откуда с учётом соотношения $(E_{\tau}/c)^{2}-p_{\tau}^{2}=m_{\tau}^{2}c^{2}$, получаем, что $$E_{\tau}=\dfrac{M_{\Psi'}c^{2}}{2};p_{\tau}=\dfrac{\sqrt{M_{\Psi'}^{2}-4m_{\tau}^{2}}}{2} c$$
Далее, найдём $u$, используя преобразования энергии и импульса. $E_{\tau},p_{\tau}$-энергии и импульс $\tau$-лептона в сопутствующей $\Psi'$-мезону системе отсчёта, тогда в лабораторной системе отсчёта:
$$u=\dfrac{p_{\tau}'c^{2}}{E_{\tau}'};p_{\tau}'=\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}};p_{x}=\dfrac{\gamma \beta E_{\tau}}{c};p_{y}=p_{\tau};E_{\tau}'=\gamma E_{\tau}$$
В итоге, гамма-фактор $\Psi'$-мезона в л.с.о. есть:
$$\gamma=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-\left (\dfrac{u}{c} \right)^{2}}}=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}}\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}$$

А как быть дальше? Именно как найти отношение энергий пучков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Хинт: удобно писать выкладки в системе единиц $c=1$ (в конечной формуле просто добавляются степени $c$ во всех слагаемых, подобранные по размерности). Пропадает необходимость различать $v$ и $\beta$ (по обозначениям ЛЛ-2 $u$ - четырёхмерная скорость, а $v$ - трёхмерная, $u^\mu=(\gamma,\mathbf{v}\gamma);$ от этого можно отступить, если скоростей разных много, и букв не хватает). Величины $v\gamma,\gamma,v$ становятся в точности равны $\sh\theta,\ch\theta,\th\theta$ (где $\theta$ - быстрота, для неё букву можно и не вводить), и соотношения между ними аналогичны.


Omega в сообщении #811237 писал(а):
Далее: $$\dfrac{\beta_{u}^{2}}{\sqrt{1-\beta_{u}^{2}}}=\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2} \Rightarrow u=\dfrac{L/t}{\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}}$$

Вначале описка (квадратный корень не возвели в квадрат), ответ правильный.

Omega в сообщении #811237 писал(а):
Запишем закон сохранения 4-вектора энергии-импульса для распада $\Psi'$-мезона в сопутствующей ему системе отсчёта:
$$\vec{P}_{\Psi'}=\vec{P}_{\tau_{1}}+\vec{P}_{\tau_{2}} \Leftrightarrow M_{\Psi'}^{2}c^2=2m_{\tau}^{2}c^{2}+2 \left (\dfrac{E_{\tau}^2}{c^{2}}+p_{\tau}^{2} \right)$$
Откуда с учётом соотношения $(E_{\tau}/c)^{2}-p_{\tau}^{2}=m_{\tau}^{2}c^{2}$, получаем, что $$E_{\tau}=\dfrac{M_{\Psi'}c^{2}}{2};p_{\tau}=\dfrac{\sqrt{M_{\Psi'}^{2}-4m_{\tau}^{2}}}{2} c$$

Я не понял, как вы преобразовали первую строчку, но ответ, конечно же, правильный. Я его получаю, выписывая 4-векторы по координатам:
$$\mathbf{p}_{\Psi'}=(0)=\mathbf{p}_{\tau 1}+\mathbf{p}_{\tau 2}\quad\Rightarrow\quad\gamma_{\tau 1}=\gamma_{\tau 2}$$ $$E_{\Psi'}=(m_{\Psi'})=E_{\tau 1}+E_{\tau 2}=2E_{\tau}=2\gamma_{\tau}m_{\tau}$$ $$p_{\tau}=\sqrt{E_{\tau}^2-m_{\tau}^2}=\sqrt{\tfrac{1}{4}m_{\Psi'}^2-m_{\tau}^2}$$
Omega в сообщении #811237 писал(а):
тогда в лабораторной системе отсчёта:
$$u=\dfrac{p_{\tau}'c^{2}}{E_{\tau}'};p_{\tau}'=\sqrt{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}};p_{x}=\dfrac{\gamma \beta E_{\tau}}{c};p_{y}=p_{\tau};E_{\tau}'=\gamma E_{\tau}$$

У меня так же. Безымянные гаммы у вас, я гляжу, относятся к скорости центра масс относительно лаборатории.

Omega в сообщении #811237 писал(а):
В итоге:
$$\gamma=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-\left (\dfrac{u}{c} \right)^{2}}}=\dfrac{2m_{\tau}}{M_{\Psi'}}\sqrt{1+\left (\dfrac{L}{tc} \right)^{2}}$$

Да, у меня так же.

Но это ещё не "в итоге"! Этот ваш ответ - это всего лишь скорость $\Psi'$ относительно лаборатории. Надо ещё найти и вторую часть задачи: энергии встречных пучков и их соотношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 12:58 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Спасибо большое!
А как Вы,Munin, считаете: каким самым быстром способом можно получить итоговый ответ?
Думаю ответ нужно искать из соображений того, что $V$ - скорость центра инерции пучков и есть скорость $\Psi'$ в л.с.о.
То есть $$V=c \sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=c \dfrac{|\sqrt{E_{1}^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}-\sqrt{E_{2}^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}|}{\gamma M_{\Psi'}c^2}$$
Тогда получается довольно громоздкое уравнение: $$\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\dfrac{\left|\sqrt{\left (\dfrac{ E_{\Psi'}}{\alpha+1} \right)^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}-\sqrt{\left (\dfrac{\alpha E_{\Psi'}}{\alpha+1} \right)^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}\right|}{E_{\Psi'}}$$
Где $\alpha=E_{2}/E_{1}$
Кстати, не могу не заметить, что $ E_{\Psi'} \gg m_{e}c^{2}$
Но тем не менее без упрощений, $\alpha \approx 0,3897...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Omega в сообщении #811277 писал(а):
Думаю ответ нужно искать из соображений того, что $V$ - скорость центра инерции пучков и есть скорость $\Psi'$ в л.с.о.

Ну, это очевидно.

(Оффтоп)

Ещё хинт по выкладкам. Не считайте скорость какой-то более первичной величиной по сравнению с гаммой. Они взаимозаменяемы в этом смысле: одно $\th\theta,$ другое $\ch\theta.$ Часто даже удобно вообще не вылезать из гамм, всё в них считать.


-- 08.01.2014 15:02:52 --

Выражение у меня тоже громоздкое. Обозначу $\theta$ - быстроту $\Psi'$ в л. с. (гамму для этой быстроты вы нашли выше в post811237.html#p811237 ), и $\theta_e$ - быстроту сталкивающихся электронов в с. ц. м. (для обоих электронов они равны). Тогда в л. с. быстроты сталкивающихся пучков будут $\theta_e\pm\theta.$ Отношение энергий будет
$$\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{\ch(\theta_e+\theta)}{\ch(\theta_e-\theta)}=\dfrac{\ch\theta_e\ch\theta+\sh\theta_e\sh\theta}{\ch\theta_e\ch\theta-\sh\theta_e\sh\theta}$$ - действительно, громоздкое выражение, если выражать все $\sh$ через известные $\ch.$ В конечном счёте, в качестве $\ch\theta$ надо подставить $\gamma$ из post811237.html#p811237 , а в качестве $\ch\theta_e=m_{\Psi'}/2m_e.$ Какого-то прозрачного способа упростить это дело я не вижу.

-- 08.01.2014 15:03:45 --

(Я выбрал отношение больше единицы, похоже, а вы - меньше единицы.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 14:09 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Munin, спасибо за подробные объяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на распад частиц
Сообщение08.01.2014, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да чо ж в них подробного, я ведь отклонился от того, чтобы ваши выкладки проверять (потому что не понял, как), и полез отсебятину городить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group