2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 09:48 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Задача
Характеристическая функция суммы двух случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Можно ли утверждать, что слагаемые независимы?

Казалось бы, что такое утверждать нельзя, но пример найти пока не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Распределение Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 16:57 
Аватара пользователя


14/12/13
119
ShMaxG в сообщении #800715 писал(а):
Распределение Коши.

Вы хотите сказать, что распределение Коши можно представить в виде суммы двух зависимых случайных величин так, чтобы выполнялось условие задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 17:53 
Аватара пользователя


14/12/13
119
ShMaxG в сообщении #800739 писал(а):
Да.

Наверное вы имели ввиду, что если $\xi \sim C(0, 1)$ имеет стандартное распределение Коши, то и $\frac{1}{\xi} \sim C(0, 1)$. Если глянуть на $\eta$, получающуюся из хар. функции произведения, то получится, что $\eta \sim C(0, 2)$. Но что-то очень сомнительно, что $\xi + \frac{1}{\xi} \sim C(0, 2)$. Это даже неправда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Нет, я не это имел ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 18:11 
Аватара пользователя


14/12/13
119
ShMaxG в сообщении #800757 писал(а):
Нет, я не это имел ввиду.

А, кажется понял. Возьмем $\xi \sim C(0, 1)$, тогда $\xi + \xi \sim C(0, 2)$. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение14.12.2013, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Да, именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение15.12.2013, 16:08 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Хорошо, а вот такая задачка.
У нас есть 3 случайные величины, которые попарно некоррелированы, их математические ожидания равны 0, а дисперсии $\sigma^2$. Спрашивается, какое максимальное значение может принимать мат. ожидание их произведения.
Единственная моя мысль на эту тему - применить неравенство Коши-Буняковского, но пока что оно не дало особых плодов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение16.12.2013, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Foxer
А откуда эта задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение16.12.2013, 22:48 
Аватара пользователя


14/12/13
119
ShMaxG в сообщении #802328 писал(а):
Foxer
А откуда эта задача?

Андрей Михалыч Райгородский умеет придумывать задачки =).

-- 16.12.2013, 22:56 --

Просто когда я пишу неравенство К-Б, вылезает четвертый момент, а с ним совершенно не ясно что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение20.12.2013, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Это задача 3.94 из сборника Зубков, Севастьянов, Чистяков "Сборник задач по теории вероятностей", 2-е изд. Ответ -- плюс бесконечность. Я долго придумывал пример, чтобы это показать, и додумался до такого, довольного "кривого", но тем не менее.

Пусть $\xi$ -- случайная величина с плотностью распределения $$\[{f_\xi }\left( x \right) = \frac{C}{{1 + {{\left| x \right|}^{15}}}},\]$$ где $C$ -- соответствующая константа. Введем в рассмотрение три случайные величины$$\[{\xi _1} = \frac{{{\xi ^3} - {\bf{E}}{\xi ^3}}}{{\sqrt {{\bf{E}}{{\left( {{\xi ^3} - {\bf{E}}{\xi ^3}} \right)}^2}} }}, \ {\xi _2} = \frac{{{\xi ^4} - {\bf{E}}{\xi ^4}}}{{\sqrt {{\bf{E}}{{\left( {{\xi ^4} - {\bf{E}}{\xi ^4}} \right)}^2}} }}, \ {\xi _3} = \frac{{{\xi ^5} - {\bf{E}}{\xi ^5}}}{{\sqrt {{\bf{E}}{{\left( {{\xi ^5} - {\bf{E}}{\xi ^5}} \right)}^2}} }}\]$$ Легко видеть, что они обладают нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Далее, первая и вторая, а также вторая и третья случайные величины некоррелируемые. Первая и третья случайные величины -- возможно коррелируемые, но это не важно, так как я подбираю теперь такое ортогональное преобразование
$$\[\left\{ \begin{array}{l}
{\eta _1} = a{\xi _1} + b{\xi _3}\\
{\eta _2} = {\xi _2}\\
{\eta _3} = c{\xi _1} + d{\xi _3}
\end{array} \right.\]$$ чтобы полученные случайные величины $\eta_1, \ \eta_2, \ \eta_3$ были попарно некоррелируемыми. Условие их некоррелируемости выглядит так:$$\[\cos 2\varphi  \cdot {\bf{E}}{\xi _1}{\xi _3} = 0\]$$ где $a=d=\cos{\varphi}, \ c = -b = \sin{\varphi}$. Далее я выбираю $\cos{2\varphi}=0$. Отсюда следует $$\[{\bf{E}}{\eta _1}{\eta _2}{\eta _3} = \frac{{\sin 2\varphi }}{2} \cdot \left( {{\bf{E}}\xi _1^2{\xi _2} - {\bf{E}}\xi _3^2{\xi _2}} \right)\]$$ Выбирая знак $\sin{2\varphi}$, получаем как плюс, так и минус бесконечность. Ну а то, что у "эт" неодинаковые дисперсии -- не важно, в данном случае их можно отнормировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение21.12.2013, 20:42 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Чуть позже приведу свое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическая функция
Сообщение23.12.2013, 18:19 
Аватара пользователя


14/12/13
119
Докажем, что матожидание произведения может оказаться бесконечностью (тогда, если мы поменяем у наших величин знак в силу линейности матожидания минимум будет $-\infty$). Возьмем 3 случайные величины $\xi_i$, которые попарно независимы, но зависимы в совокупности, причем матожидание их произведения $m = M\xi_1\xi_2\xi_3 \neq 0$. Возьмем случайную величину $\eta$ с матожиданием $0$, дисперсией $\sigma^2$, но у которой нет третьего момента (бесконечность). Причем сделаем так, что $\eta$ независим от совокупности $\{\xi_1, \xi_2, \xi_3\}$. Тогда рассмотрим 3 случайные величины: $\xi_1\eta$, $\xi_2\eta$, $\xi_3\eta$. Они попарно некоррелируют, т.к. $M\xi_1\xi_2\eta^2 = M\xi_1\xi_2M\eta^2 = 0 \cdot \sigma^2 = 0$ (в силу независимости $\eta$ от $\xi_i$). А вот $M\xi_1\xi_2\xi_3\eta^3 = M\xi_1\xi_2\xi_3M\eta^3 = m \cdot \infty = \pm \infty$. Соответственно, когда поменяем знаки у случайных величин, то получим $\mp \infty$, что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.01.2014, 00:30 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group