2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение02.01.2014, 16:29 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Можно ли элементарными функциями ввести на гиперболическом параболоиде

$2Rz=x^2-y^2$

ортогональную параметризацию


$x=x(u,v)$
$y=y(u,v)$
$z=z(u,v)$


то есть такую, чтобы коэффициент $F(u,v)$ в квадратичной форме квадрата элемента дуги на этой поверхности

$dl^2=E(u,v)du^2+F(u,v)dudv+G(u,v)dv^2$

равнялся нулю:

$F(u,v)=0$

Подскажите, если такая параметризация существует. Перебрал уже с пяток всяких разных, в том числе с гиперболическими функциями, никак ничего не получается подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение02.01.2014, 18:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Гиперболический параболоид — это координатная поверхность в параболоидальных координатах, а они являются ортогональными. Так что — существует.

См. статью Paraboloidal coordinates в английской Википедии.

Ваша поверхность получится, если взять $A=R, B=-R, \mu=0$ (и поменять местами $x$ и $y$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение02.01.2014, 21:16 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
svv, большое СПАСИБО за наводку. Пытаюсь разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение03.01.2014, 16:56 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
А как быть с тем, что новая координатная сетка покрывает только одну четверть на выбор плоскости Oxy?

Конечная цель вообще же в чём заключается. Задать на поверхности ортогональную систему координат (покрывающую всю поверхность), задать в виде двух функций кривую на этой поверхности и в виде двух пар координат две точки. Затем, вариацией функционала длины кривой найти кратчайшую кривую, соединяющую эти две точки. Если параметризация не будет покрывать всю поверхность, то я не смогу решить задачу в общем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение03.01.2014, 18:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Тогда попробуйте такую параметризацию:
$\begin{cases}x=\sqrt 2\,R\,\sh u\,\ch v\\y=\sqrt 2\,R\,\ch u\,\sh v\\z=R\,(\sh^2 u - \sh ^2 v)=R\,(\ch^2 u - \ch ^2 v)\end{cases}$
Я получил её из той, что в Википедии (а на русском языке — в справочнике Корна) простыми подстановками.

А вообще — для Вашей задачи не нужна ортогональность координат. Уравнение геодезической, которое получится в результате решения вариационной задачи, этого не требует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение03.01.2014, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
B@R5uk в сообщении #809134 писал(а):
Если параметризация не будет покрывать всю поверхность, то я не смогу решить задачу в общем виде.

Это вообще говоря не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение03.01.2014, 20:48 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
svv в сообщении #809155 писал(а):
Тогда попробуйте такую параметризацию
Спасибо. Интересный вариант. Конкретно эта подстановка не даёт ортогональной сетки, но когда записываешь квадраты дифференциалов становится очевидно как этой ортогональности добиться.

svv в сообщении #809155 писал(а):
для задачи не нужна ортогональность координат. Уравнение геодезической этого не требует
Это бесспорно. Я даже получил систему из двух уравнений в декартовых Oxy-координатах. Но, к сожалению, она получилась такая сложная, что я ни в зуб ногой как к ней подступиться. Поэтому хочу попробовать ортогональную систему. На плоскости, конусе, сфере и даже на торе в ортогональных координатах переменные в дифференциальных уравнениях с очевидностью разделяются и интегрируются. На торе, правда, получаются эллиптические функции, поэтому я конкретный ответ не получил, но направление движения очевидно.

Ну и для общего развития было бы не плохо знать ортогональные координаты на столь популярной кривой второго порядка.

-- 03.01.2014, 21:51 --

Утундрий, не так -- покрывает всю поверхность, или не так -- я смогу решить задачу для всей поверхности, используя координатную сетку только на её части?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение03.01.2014, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
B@R5uk в сообщении #809238 писал(а):
я смогу решить задачу для всей поверхности, используя координатную сетку только на её части?

По нескольку раз используя (для каждой из частей), отчего же и нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение04.01.2014, 00:05 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
B@R5uk в сообщении #809238 писал(а):
Конкретно эта подстановка не даёт ортогональной сетки
Ой, почему у Вас не получилось?
$\begin{bmatrix}x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt 2\,R\,\ch u\,\ch v&\sqrt 2\,R\,\sh u\,\sh v&\;\;\,2R\,\sh u\,\ch u\\ \sqrt 2\,R\,\sh u\,\sh v&\sqrt 2\,R\,\ch u\,\ch v&-2R\,\sh v\,\ch v\end{bmatrix}$

$g_{uv}=x_u\,x_v + y_u\,y_v + z_u\,z_v =(2R^2+2R^2-4R^2)\sh u\sh v\ch u\ch v=0$
Или, в Ваших обозначениях, $F(u,v)=0$.

Или Вы о чем-то другом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение05.01.2014, 01:37 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
svv в сообщении #809332 писал(а):
Ой, почему у Вас не получилось?
Потому что обсчитался. Действительно всё так, как Вы написали. Ещё раз спасибо.

Жаль нельзя избавиться от квадратного корня из двух, ибо он есть отражение того факта, что $a=b$.

А в общем случае у меня получилась такая параметризация:

$2z=\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}$

$x=\sqrt{a^2+ab}\sh u\ch v$
$y=\sqrt{ab+b^2}\ch u\sh v$
$z=\frac{a+b}{2}(\sh^2 u-\sh^2 v)$

$\begin{bmatrix}x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\sqrt{a^2+ab}\ch u\ch v&
\sqrt{ab+b^2}\sh u\sh v&
(a+b)\ch u\sh u\\
\sqrt{a^2+ab}\sh u\sh v&
\sqrt{ab+b^2}\ch u\ch v&
-(a+b)\ch v\sh v\end{bmatrix}$

$g_{uu}=(a^2+ab)\ch^2u\ch^2v+(ab+b^2)\sh^2u\sh^2v+(a+b)^2\ch^2u\sh^2u$
$g_{uv}=g_{vu}=0$
$g_{vv}=(a^2+ab)\sh^2u\sh^2v+(ab+b^2)\ch^2u\ch^2v+(a+b)^2\ch^2v\sh^2v$

Нигде не обсчитался, кстати?

Можно, конечно, часть коэффициентов под гиперболические функции запихнуть, но это не намного упростит дело. Лучше попробовать упростить выражения для $g_{uu}$ и $g_{vv}$, а потом посмотреть какие уравнения получаются для геодезических.

Я, видимо, ошибался, когда предполагал, что простота уравнений на других поверхностях получалась в результате ортогональности координат, хотя, без сомнения, это тоже важно. Кроме ортогональности, у координатных сеток на других поверхностях имеется ещё одна, гораздо более замечательная особенность. Она заключается в том, что оба коэффициента $g_{uu}$ и $g_{vv}$ не зависят от одной из координат параметризации поверхности. В результате одна из частных производных подынтегральной функции функционала равна нулю, и один из интегралов на пути к функциям, параметризирующих кривую, даётся задаром (выражение под полной производной равно константе).

Может быть, есть ещё какие-нибудь красивые параметризации гиперболического параболоида, обладающие такой замечательной особенностью ($g_{uu}$ и $g_{vv}$ не зависят от одной из координат)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение05.01.2014, 12:20 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
$g_{uu}=(a+b)\left(a\ch^2u+b\sh^2u\right)\left(1+\sh^2u+\sh^2v\right)$
$g_{uv}=g_{vu}=0$
$g_{vv}=(a+b)\left(a\ch^2v+b\sh^2v\right)\left(1+\sh^2u+\sh^2v\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение05.01.2014, 23:03 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
B@R5uk в сообщении #809639 писал(а):
Может быть, есть ещё какие-нибудь красивые параметризации гиперболического параболоида, обладающие такой замечательной особенностью ($g_{uu}$ и $g_{vv}$ не зависят от одной из координат)?
Думаю, нет.
1. Рассмотрим уравнение Киллинга $\mathcal{L}_{\xi}g=0$. В компонентах это
$\xi^k \;g_{ij,k} + \xi^k{}_{,i}\;g_{kj} + \xi^k{}_{,j}\;g_{ik}=0$
Пусть все компоненты метрического тензора $g_{ij}$ не зависят от координаты $x^m$, то есть $g_{ij,m}=0$. Тогда поле $\xi^k=\delta^k_m$ удовлетворяет уравнению Киллинга. И, стало быть, на нашем двумерном многообразии с заданной метрикой существует векторное поле Киллинга, которое
Цитата:
задает непрерывное однопараметрическое семейство движений многообразия, то есть преобразований, относительно которых метрический тензор остается инвариантным.
Что было ясно и без уравнения Киллинга, из самого факта независимости — просто я хотел поставить вопрос на твердую основу.

2. Вычислим гауссову кривизну $K$ нашего гиперболического параболоида. В задачнике Мищенко, Соловьева, Фоменко есть задача 6.8: найти $K$ для поверхности в $\mathbb R^3$, заданной уравнением $z=f(x, y)$. Ответ:
$K=\dfrac{f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2}{(1+f_x^2+f_y^2)^2}$
В нашем случае $z=\frac{1}{2R}(x^2-y^2)$ это дает $K=-\frac{R^2}{(R^2+x^2+y^2)^2}$.

3. Гауссова кривизна определяется метрикой поверхности. Следовательно, гауссова кривизна инвариантна относительно преобразований, указанных в п.1. Следовательно, $K$ постоянна вдоль интегральной линии поля Киллинга. Но вычисленная в п.2 $K$ зависит только от $x^2+y^2$. Значит, проекция предполагаемой интегральной линии поля Киллинга на плоскость $Oxy$ есть окружность $x^2+y^2=\operatorname{const}$.

4. Однако при движении некоторой точки $A$ по такой кривой (проекция которой на $Oxy$ есть окружность $x^2+y^2=\operatorname{const}$) не сохраняется расстояние от $A$ до $O(x=y=z=0)$ (в метрике поверхности). Это видно из того, что при $x^2=y^2$ точку $A$ и $O$ соединяет прямая, лежащая на поверхности и в плоскости $Oxy$, а при $x^2\neq y^2$ — не прямая. Следовательно, единственное непрерывное преобразование, которое было кандидатом на изометричность, оказывается не изометрическим. Значит, и исходное предположение неверно. А поле Киллинга, увы, может быть лишь нулевым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение06.01.2014, 13:55 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Спасибо за подробный ответ. К сожалению, моих знаний не хватает, чтобы понять в полной мере ход доказательства, но вывод мне понятен. Видимо, придётся потренироваться на поверхностях по-проще. Или замутить что-нибудь численное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация гиперболического параболоида
Сообщение06.01.2014, 14:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
ОК.
Вот простыми словами.
Чтобы была такая независимость, надо, чтобы поверхность можно было двигать (сдвигать, вращать, ещё что-то) вдоль самой себя с сохранением метрики (чтобы никакой участок не растягивался и не сжимался). Для фигур вращения это возможно.
Гладкая поверхность в $\mathbb R^3$ в каждой точке характеризуется гауссовой кривизной $K$. У нашего гиперболического параболоида $K$ каким-то чудом зависит только от $x^2+y^2$.
Кривизна полностью определяется метрикой поверхности (можно вычислить кривизну в точке $A$, зная расстояния между точками в некоторой окрестности $A$). Значит, если при сдвиге поверхности вдоль себя она не растягивается/не сжимается, то и кривизна ее не меняется. Значит, если изометрический сдвиг гиперболического параболоида возможен, то только такой, когда каждая точка поверхности движется вдоль своей кривой $x^2+y^2=\operatorname{const}$ (с переменным $z=\frac 1 {2R}(x^2-y^2)$, конечно).
Но на любой такой кривой разные её точки находятся на разном расстоянии от $O$. Поэтому метрика всё же не сохраняется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group