Помогите разобраться с решением (мат.стат.) (я девушка..)

[MathLuxury]

Собственно, задание: Элементы выборки $X_1, …, X_n$ принимают значения из множества натуральных чисел с вероятностями $P_\theta ({X_k = x}) = \theta^{x - 1}(1-\theta), x \in N$. Определить по методу максимального правдоподобия оценку $\widehat{\theta}_n$ параметра $\theta \in (0, 1)$.

Итак, у нас есть такая прекрасная функция – функция правдоподобия $L(\theta) = \prod_{i = 1}^{n} f(X_i, \theta)$.

Подставляя наше значение плотности, получаем $L(\theta) = \prod_{i = 1}^{n} \theta^{X_i - 1}(1 - \theta)$.

Для удобства преобразуем $\frac{(1 - \theta)}{\theta}\prod_{i = 1}^{n}\theta^{X_i} = \frac{(1 - \theta)}{\theta}\theta^{n\overline{X}_n}$.

Далее приводим к логарифмической функции правдоподобия, т.е. логарифмируем полученное выражение $\ln \frac{(1 - \theta)}{\theta}\theta^{n\overline{X}_n} = \ln (1 - \theta) + (n\overline{X}_n - 1)\ln \theta$.

Следующий шаг – дифференцирование всего этого счастья $\frac{\partial \ln L(\theta)} {\partial \theta} = \frac{-1}{1-\theta} + \frac{(n\overline{X}_n - 1)}{\theta} = \frac{-\theta + (n\overline{X}_n - 1)(1 - \theta)}{\theta(1 - \theta)} $.

Теперь раскроем скобки и приравняем это дело к нулю $\frac{-\theta + n\overline{X}_n - n\overline{X}_n\theta - 1 + \theta}{\theta(1 - \theta)} = \frac{n\overline{X}_n - n\overline{X}_n\theta - 1}{\theta(1 - \theta)} = 0 \Rightarrow \theta = \frac{n\overline{X}_n - 1}{n\overline{X}_n}$.
Всё ли верно и нужно ли что-то ещё?

[Otta]

Што и Вы девушка? Это уже не смешно.

Функцию правдоподобия пересчитайте. И распределение нормально запишите.

[MathLuxury]

На самом деле там ошибка в условии. Уже поправлено.

[Otta]

Все равно пересчитайте.

[MathLuxury]

А Вы не могли бы уточнить, где там ошибка?

[Otta]

Могла бы, долго набирать. Мой Вам совет - напишите все это добро в строчечку, первый множитель, второй множитель... и посмотрите, что вылезет и в каких степенях.

[MathLuxury]

Так а мне не меньше набирать. На листочке всё в строчечку и не понятно, что не так.

[Otta]

Молодой человек, это надо Вам, а не мне. Возьмите бумажку и напишите на ней функцию правдоподобия для $n=2$. Символ произведения писать не надо, надеюсь, Вы догадываетесь. Сюда можете не набирать ничего вообще, если не испытываете необходимости. После того, как найдете ошибку, пересчитайте оценку в общем случае. Кроме того, критическую точку нужно проверять на предмет, является ли она точкой максимума. Этим и завершите Ваше решение.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #809936 писал(а):

Молодой человек

Какая тонкая подначка

[Otta]

(Aritaborian)

Издеваетесь. По-моему, оченно даже толстая.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

MathLuxury в названии темы писал(а):

(я девушка..)

Вы совершенно напрасно думаете, что это смелое признание как-то повлияет на судьбу Вашей задачи на форуме.

[MathLuxury]

$(1 - \theta)^n\prod_{i = 1}^{n}\theta^{X_i - 1} = (1 - \theta)^n\theta^{n\overline{X}_n - n}$
Дальше те же действия, только с исправленной функцией. Спасибо за помощь!

P.S. я не молодой человек, я ДЕВУШКА!

[_Ivana]

(Оффтоп)

Не вижу противоречий, девушка зачастую бывает и молодой и человеческой. Я однажды тоже спросил девушку в автобусе: молодой человек, вы выходите? Она долго смеялась и всячески демонстрировала свое изумление.
А заголовок темы мне понравился - надеюсь, это станет форумным трендом, хотя бы на некоторое время Про девушку, как явление

[MathLuxury]

Я не единственный пользователь, который подписывается "девушкой". Работает – факт!

[Otta]

(Оффтоп)

Второй. И оба - за последнюю неделю. Как Вы поняли, что работает? Обоснуйте.