2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 13:46 


11/11/12
172
Здравствуйте! Всех с Новым составным годом! Подскажите, как можно решить МГУшную задачу 2013 года:
$ \text{При каких значениях параметра}\; a\; \text{уравнение}\; \sin \left(x+\cfrac{a}{x}\right)=x+1\; \text{имеет бесконечно много корней?}$
Понятно, что решать это уравнение --- безумие, строить график (вручную) --- безумие, остаётся только проводить анализ функций. Но какой именно --- вот в чём вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
А какое там безумее? Где вообше может появится бесконечное число корней? Только в полуокрестности одной точки. Можно и посмотреть пристальнее на эту окрестность. Подумать о бесконечности, о непрерывности. Только мне кажется, что-то там не то в условиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 14:26 


11/11/12
172
gris в сообщении #808635 писал(а):
А какое там безумее? Где вообше может появится бесконечное число корней? Только в полуокрестности одной точки. Можно и посмотреть пристальнее на эту окрестность.

А какой именно точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Ну вот представьте. Синус функция ограниченная. Правая часть — прямая. В область значений левой части может войти вообще только отрезок. То есть для бесконечного числа пересечений левая часть должна иметь либо прямолинейный участок, чего нет, либо бесконечное число колебаний. А где синус может иметь бесконечное число колебаний? Только в бесконечности. А где бесконечность у скобки в левой части? В ну...

Только нужно уловить то значение параметра, при котором скобка не имеет бесконечности. Это тоже ну...

В общем: ну и ну... :-)

Только я до сих пор в сомнении насчёт правильности представления условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
gris, виртуозная подсказка. :mrgreen: Ее еще бы в стихах...function, вы все-таки попробуйте построить график!

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 15:18 
Заблокирован


30/12/13

254
Задача больше логическая. Нужно рассмотреть пересечения с осью 0X функции: $y=\sin \left (x+\frac{a}{x} \right )-x-1$

При значительных $|a|$ область пересечения функции находится в интервале $(-2,0]$. По мере увеличения $|a|$ число пересечений с осью X возрастает и в пределе $|a|=\infty$ на отрезке $[-2,0]$ будем иметь бесконечное количество корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 15:20 


11/11/12
172
gris, то есть ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\sin\left(x+\cfrac{a}{x}\right)=\infty$ при $a\neq 0$. Почему прямая в правой части обязательно должна бесконечно много раз пересечь синусоиду в левой части (например, в уравнении $\sin\left(x+\cfrac{1}{x}\right)=x+1$)? Как доказать этот факт?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
tatkuz1990 а при "незначительных"? Кажется, это новое определение для чисел :mrgreen:

(Оффтоп)

Собственно, в этой задаче только одно "незначительное" значение


-- 02.01.2014, 16:24 --

function в сообщении #808650 писал(а):
то есть ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\sin\left(x+\cfrac{a}{x}\right)=\infty$
"В военное время синус может достигать 4". Но вот чтобы бесконечности! Это уж конец света!

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 15:26 


11/11/12
172
provincialka в сообщении #808654 писал(а):
tatkuz1990 а при "незначительных"? Кажется, это новое определение для чисел :mrgreen:

(Оффтоп)

Собственно, в этой задаче только одно "незначительное" значение


-- 02.01.2014, 16:24 --

function в сообщении #808650 писал(а):
то есть ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}}\sin\left(x+\cfrac{a}{x}\right)=\infty$
"В военное время синус может достигать 4". Но вот чтобы бесконечности! Это уж конец света!

Туплю... :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Предел правильный, но только если без синуса. Аргумент синуса непрерывно и монотонно стремится к той или другой бесконечности при приближении $x$ к нулю. Но не для всех $a$! Для одного значения $a$ у нас обычный синус и всего один корень. Это значение отделяем.
А доказать строго попробуйте используя непрерывность. Ведь левая часть в окрестности нуля бесконечное число раз равна $1$ и бесконечное число раз $0$. Причём по очереди. Ну вот и используем напрерывность. Ну ещё надо показать, при каких $a$ аргумент синуса стремится к бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 15:39 


11/11/12
172
Большое спасибо, gris, всё ПРЕДЕЛьно ясно.

В каком задачнике я могу встретить задачи на свойства функций, связанных с пределами, подскажите пожалуйста? Стало очень интересно!

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 15:48 
Заблокирован


30/12/13

254
provincialka, вы можете проверить, построив график $y$ при $|a|=100$:

Изображение

Видите, интервал на оси 0X где есть пересечения?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
tatkuz1990, Ваши верные рассуждения остаются верными для любого ненулевого значения параметра, о чём provincialka и говорила. Даже если $a$ равно один в минус декалионной степени. Ой, переборщил :oops: . Кажется, таких маленьких чисел не бывает. Ну тогда уж одна миллиардная точно подойдёт, если получше увеличить график.
В общем-то, это задача не на пределы, а на непрерывность. Что функция, принимающая на концах отрезка значения разных знаков, имеет ноль внутри этого отрезка. Или любое аналогичное свойство.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 16:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Дополню gris.
tatkuz1990 в сообщении #808649 писал(а):
При значительных $|a|$ область пересечения функции находится в интервале $(-2,0]$.

tatkuz1990 в сообщении #808673 писал(а):
вы можете проверить, построив график $y$ при $|a|=100$:

tatkuz1990
Незачем тут проверять, рисовать и "значительность" ни при чем.
Понятно, что $y=\sin\left(x+\frac ax\right)-x-1$ такова, что для всех $x\;\;{}-2-x\le y\le -x$. Потому $y=0$ только если $-2-x\le 0\le -x$, что происходит, когда $x\in [-2,0)$. Для всех $a$. Но это рассуждение, само собой, не имеет отношения к количеству корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение с параметром
Сообщение02.01.2014, 17:44 


01/12/11

1047
При любом значении $a$ график $y$ наклоняется $x$ом на 45 градусов, и количество корней конечно. Если правую часть записать как $1+ax$, то появится решение при $a=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group