Ещё можно применить линейные формы.
Линейная форма — это такая функция, которая каждому вектору сопоставляет число, «измеряя» его проекцию на какую-то фиксированную ось (это
не текущее определение, но неформально так всё и есть). При этом получается, что для линейной формы
справедливо
для любых векторов и скаляров (а вот это красивое равенство и считается признаком линейной формы). Это означает, что можно задать линейную форму её значениями на некотором базисе: пусть
, тогда вектор с координатами
будет преобразовываться этой формой в число
.
Раз уж линейная форма — функция, почему бы не посмотреть на её линии уровня?
Линии уровня — это такие кривые, для точек которых функция выдаёт одиннаковые результаты. Пускай нас интересует линия уровня
(и у нас задан базис
и связан с формой как выше). Она состоит из векторов с какими-то координатами. Что можно про них сказать?
. Знакомо? Это и есть наша прямая. Почему прямая?
Посмотрим на векторы, которые форма
безжалостно превращает в ноль. Они образуют её
ядро. Пусть у нас есть два таких,
и
.
— оп-па! Любая линейная комбинация векторов из ядра снова принадлежит ему. Что это значит? Ядро линейной формы — линейное подпространство. Его размерность, как можно показать, на единицу меньше размерности объемлющего пространства. Такие штучки называют
гиперплоскостями, и гиперплоскость плоскости — обычная прямая. Вспомните уравнение плоскости
— оно так похоже именно потому что плоскость — гиперплоскость трёхмерного пространства.
Стоп! Мы доказали, что
— уравнение прямой. Но ничего не сказано об общем случае! Линия уровня
не 0 линейной формы уже не будет
линейным подпространством. Она будет совпадать с перенесённым на какой-то вектор ядром этой формы. Она так и останется гиперплоскостью, потому что плоскости от параллельного переноса не гнутся.
Такие перенесённые линейные подпространства из-за их частоты тоже назвали:
аффинными (тоже подпространствами). В них не обязательно есть нулевой вектор — этим они «ущербны», но любая линейная комбинация элементов аффинного подпространства с суммой весов 1 всегда будет находиться в нём. У этого есть наглядная интерпретация, но она здесь не нужна.
И с каждой линейной формой связаны бесконечные стопки гиперплоскостей, пронумерованных числами. Это удобно, если мы вдруг захотим думать о линейных формах вечерами. Или сделать из них линейное пространство.
Но это уже совсем другая история.-- Пн дек 30, 2013 04:23:19 --Писал-писал сказочку, а про нормаль забыл.
-- Пн дек 30, 2013 04:34:21 --Нормаль появляется только тогда, когда к нам приходит
Дед Мороз скалярное произведение. Оно, как древо познания, отделяет прямое от косого, и всё такое.
И вот оно пришло к векторам вместе с удобным здесь обозначением
svv. Заденет ли оно линейные формы? Ещё как. Оказывается, скалярное произведение с данным вектором (у нас остаётся один операнд, и туда мы подставляем что-нибудь) — это линейная форма! Иными словами, для любого вектора
существует линейная форма
такая, что
. Про нормаль это ничего интересного не говорит, но спать мне тоже надо. Прошу прощения у ТС за внезапный конец истории.