2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение29.12.2013, 01:01 


07/09/13
26
Уравнение прямой в общем виде
$Ax+By+C=0$


Каноническое уравнение прямой, перпендикулярной данной будет иметь вид:
$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}$


Почему это так? Почему координаты нормального вектора прямой будут $(A;B)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение29.12.2013, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
$\dfrac{x-x_0}{a_x}=\dfrac{y-y_0}{a_y}$
Равны? Значит, равны некоторому числу $t$:
$\dfrac{x-x_0}{a_x}=\dfrac{y-y_0}{a_y}=t$

Значит,
$\begin{cases}x(t)=x_0+a_x t\\y(t)=y_0+a_y t\end{cases}$

Значит,
$\mathbf r(t)=\mathbf r_0+\mathbf a t$

-- Вс дек 29, 2013 00:44:52 --

Я не на тот вопрос отвечал. Вот ответ на тот вопрос.
$Ax+By+C=0$
Пусть известно, что точка $(x_0, y_0)$ лежит на прямой, тогда
$Ax_0+By_0+C=0$
Вычитая эти уравнения, исключим $C$:
$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$
Это скалярное произведение двух векторов: $\mathbf n(A,B)$ и $\mathbf r-\mathbf r_0$:
$(\mathbf n, \mathbf r-\mathbf r_0)=0$
Второй вектор параллелен прямой. Значит, первый перпендикулярен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение29.12.2013, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Пусть $\mathbf r_0$ — фиксированная точка на прямой, $\mathbf r$ — переменная точка на прямой. Тогда вектор $\mathbf r-\mathbf r_0$ будет параллелен прямой.

Если дано, что некоторый вектор $\mathbf a$ тоже параллелен прямой, то векторы пропорциональны:
$\mathbf r-\mathbf r_0=\mathbf a t$
Отсюда получается $\dfrac{x-x_0}{a_x}=\dfrac{y-y_0}{a_y}=t$

Если дано, что некоторый вектор $\mathbf n$ перпендикулярен прямой, то
$(\mathbf n, \mathbf r-\mathbf r_0)=0$
Отсюда получается $n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)=0$, или $n_x x+n_y y+C=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение29.12.2013, 21:52 


03/06/12
2862
А еще можно применить формулу тангенса угла между прямыми, отдельно рассмотрев случаи $A=0$ или $B=0$ (оба они не могут быть $0$ по определению), хотя описанные выше рассуждения сразу охватывают все случаи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение30.12.2013, 01:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ещё можно применить линейные формы.

Линейная форма — это такая функция, которая каждому вектору сопоставляет число, «измеряя» его проекцию на какую-то фиксированную ось (это не текущее определение, но неформально так всё и есть). При этом получается, что для линейной формы $f$ справедливо $f(\alpha\mathbf u + \beta\mathbf v) = \alpha f(\mathbf u) + \beta f(\mathbf v)$ для любых векторов и скаляров (а вот это красивое равенство и считается признаком линейной формы). Это означает, что можно задать линейную форму её значениями на некотором базисе: пусть $f(\mathbf i) = a, f(\mathbf j) = b$, тогда вектор с координатами $(x,y)$ будет преобразовываться этой формой в число $ax + by$.

Раз уж линейная форма — функция, почему бы не посмотреть на её линии уровня? Линии уровня — это такие кривые, для точек которых функция выдаёт одиннаковые результаты. Пускай нас интересует линия уровня $c$ (и у нас задан базис $(\mathbf i,\mathbf j)$ и связан с формой как выше). Она состоит из векторов с какими-то координатами. Что можно про них сказать? $ax + by = c$. Знакомо? Это и есть наша прямая. Почему прямая?

Посмотрим на векторы, которые форма $f$ безжалостно превращает в ноль. Они образуют её ядро. Пусть у нас есть два таких, $\mathbf u$ и $\mathbf v$. $f(\alpha\mathbf u + \beta\mathbf v) = \alpha f(\mathbf u) + \beta f(\mathbf v) = \alpha\cdot0 + \beta\cdot0 = 0$ — оп-па! Любая линейная комбинация векторов из ядра снова принадлежит ему. Что это значит? Ядро линейной формы — линейное подпространство. Его размерность, как можно показать, на единицу меньше размерности объемлющего пространства. Такие штучки называют гиперплоскостями, и гиперплоскость плоскости — обычная прямая. Вспомните уравнение плоскости $Ax + By + Cz = D$ — оно так похоже именно потому что плоскость — гиперплоскость трёхмерного пространства.

Стоп! Мы доказали, что $ax + by = 0$ — уравнение прямой. Но ничего не сказано об общем случае! Линия уровня не 0 линейной формы уже не будет линейным подпространством. Она будет совпадать с перенесённым на какой-то вектор ядром этой формы. Она так и останется гиперплоскостью, потому что плоскости от параллельного переноса не гнутся. :roll: Такие перенесённые линейные подпространства из-за их частоты тоже назвали: аффинными (тоже подпространствами). В них не обязательно есть нулевой вектор — этим они «ущербны», но любая линейная комбинация элементов аффинного подпространства с суммой весов 1 всегда будет находиться в нём. У этого есть наглядная интерпретация, но она здесь не нужна.

И с каждой линейной формой связаны бесконечные стопки гиперплоскостей, пронумерованных числами. Это удобно, если мы вдруг захотим думать о линейных формах вечерами. Или сделать из них линейное пространство. Но это уже совсем другая история.

-- Пн дек 30, 2013 04:23:19 --

Писал-писал сказочку, а про нормаль забыл. :oops:

-- Пн дек 30, 2013 04:34:21 --

Нормаль появляется только тогда, когда к нам приходит Дед Мороз скалярное произведение. Оно, как древо познания, отделяет прямое от косого, и всё такое.

И вот оно пришло к векторам вместе с удобным здесь обозначением svv. Заденет ли оно линейные формы? Ещё как. Оказывается, скалярное произведение с данным вектором (у нас остаётся один операнд, и туда мы подставляем что-нибудь) — это линейная форма! Иными словами, для любого вектора $\mathbf a$ существует линейная форма $f$ такая, что $f(\mathbf v) = (\mathbf a,\mathbf v)$. Про нормаль это ничего интересного не говорит, но спать мне тоже надо. Прошу прощения у ТС за внезапный конец истории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение30.12.2013, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora

(Оффтоп)

Прочитал и аж настроение поднялось (испорченное этим).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение30.12.2013, 16:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Спасибо.

(Интересно, не показалась ли ТС эта сказка кошмарной?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнеие перпендикулярной прямой
Сообщение30.12.2013, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
u100 в сообщении #807388 писал(а):
Почему это так? Почему координаты нормального вектора прямой будут $(A;B)$?

в знаменателях канонического уравнения стоят координаты направляющего вектора, а не нормали

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group