2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 бусина на кольце
Сообщение26.12.2013, 22:07 


10/02/11
6786
На проволочной окружности радиуса $r$ находится надетая на нее маленькая бусина массы $m$. Коэффициент сухого трения между бусиной и окружностью равен $\mu>0$. Бусина насажена на проволоку неплотно. Кольцо неподвижно. Силы тяжести нет.

В момент времени $t=0$ бусине придали некоторую начальную скорость и предоставили систему самой себе. В момент времени $t=T$ скорость бусины измерили и нашли, что она равна по модулю $v$. Оцените сверху время $T$ между "запуском" бусины и моментом измерения скорости.
(Т.е. известны $r,m,\mu,v$ оценить $T$)

Релятивистскими эффектами пренебречь :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 08:15 


15/11/11
243
А эта "некоторая" начальная скорость известна?

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 08:52 


10/02/11
6786
нет

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 09:30 
Аватара пользователя


10/12/13
78
ЮРГПУ (НПИ) им. М. И. Платова, РГУПС
Ответ задачи: $T \le \cfrac{r}{\mu v}$, если пренебречь релятивистскими эффектами

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 10:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Попытка угадать решение maisvendoo.

Будем рассматривать движение вдоль проволоки с уравнением

$x''=-\dfrac {\mu (x')^2}{r}$ или $rv'=-\mu v^2$ с начальным условием $v(0)=v_0$

Интегрируя, получим $\dfrac r {v}=\mu t+\dfrac r {v_0}$, то есть $\dfrac {r} {v}=\mu T+\dfrac {r} {v_0}$, откуда

$T=\dfrac r {\mu v}-\dfrac r {\mu v_0}$, причём $v_0\geqslant v$.

Получается, что максимального значения достичь не удастся? Ну если только ограничение скорости $v_0\leqslant c$ является релятивистским эффектом. То есть верхняя оценка та, что указана, но со строгим неравенством.

Смущает отсутствие массы... Да и вообще, наверное, не так всё просто :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 10:33 
Аватара пользователя


10/12/13
78
ЮРГПУ (НПИ) им. М. И. Платова, РГУПС
Ход Ваших рассуждений абсолютно верен. Масса дана для отвода глаз.
Только я не уверен, что стоило приводить полное решение

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 10:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ах, если бы. Вдруг чего-то не учли? Если бусинку закрутить при одновременном толчке вдоль проволоки? Учитывать, например, нагрев при трении?

Почему не стоило приводить полное решение? Это же олимпиадный раздел.

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 10:58 
Аватара пользователя


10/12/13
78
ЮРГПУ (НПИ) им. М. И. Платова, РГУПС
Бусина здесь мыслится точкой. Как её можно закрутить? Тот случай, когда не надо плодить лишних сущностей.
К тому же, Ваше предположение требует дополнительной информации - например о материале бусины и доле потерь энергии идущей на её нагрев.

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Раз не дана масса кольца, то оно и дальше не будет двигаться. А что значит тогда "предоставили систему самой себе"? А что если через работу силы трения попробовать? То же самое получится?
Может быть, мы не учли тангенциальную составляющую силы трения?

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 12:14 
Аватара пользователя


10/12/13
78
ЮРГПУ (НПИ) им. М. И. Платова, РГУПС
Думаю, сила трения проецируется здесь на касательную к окружности в полную величину. Через теорему об изменении кинетической энергии выйдет так же, только дольше.
Думаю соль задачи как раз в зависимости нормальной реакции от скорости и исследовании решения при больших начальных скоростях. Причем даже если скорость скажем на три порядка меньше $c$ это лежит вне релятивистской динамики и начальную скорость можно просто положить достаточно большой

 Профиль  
                  
 
 Re: бусина на кольце
Сообщение27.12.2013, 14:35 


10/02/11
6786
полное рещение, конечно, не надо было выкладывать :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group