2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение22.12.2013, 17:48 


22/12/13
36
Само задание выглядит таким образом
Электрон, имеющий длину волны де-Бройля 0,5 мкм движется в направлении отверстия в экране. Диаметр отверстия 2 мкм. На какой угол (или углы) электрон "точно" не отклонится от направления своего первоначального движения?
Указание: (посмотреть дифракцию на щели:это проще; на отверстии:это сложнее)
Я прочитал про дифракцию на щели, но каким образом можно определить угол отклонения электрона не очень понял. Нашел только как определить углы, при которых достигается минимальная и максимальная интенсивность. Но я так понимаю не обязательно все возможные варианты углов отклонения лежат в промежутке между этими двумя. Подскажите каким образом это понять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение22.12.2013, 17:54 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Возможно, имеются в виду углы, при которых амплитуда дифрагированной волны нулевая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение22.12.2013, 21:10 


22/12/13
36
DimaM в сообщении #804762 писал(а):
Возможно, имеются в виду углы, при которых амплитуда дифрагированной волны нулевая?

Я об этом подумал, но мне почему-то показалось, что это не оно...
В общем еще поискав нашел, что частица, пролетев через щель, может вылететь в любом направлении в пределах угла 2*fi. Как на картинке в общем.
Изображение
То есть получается в принципе мне нужно найти только этот угол fi каким-то образом, и тогда я смогу сказать, что все значения кроме этого fi невозможны? Или я что-то недопонимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 00:03 
Заслуженный участник


07/07/09
5408
Кроме центрального , нулевого максимума, будут и другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 05:33 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Hostage в сообщении #804859 писал(а):
В общем еще поискав нашел, что частица, пролетев через щель, может вылететь в любом направлении в пределах угла $2\varphi$. Как на картинке в общем.
Неверная картинка.
Для дифракции на щели амплитуда от угла зависит приблизительно как $\sin(k\Delta x\sin\varphi)/(k\Delta x\sin\varphi)$ (где $k$ - волновой вектор), так что будут дополнительные максимумы, а между ними нули.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 07:45 


22/12/13
36
А, точно... Там просто рассматривается ситуация когда поток электронов проходит, и соответственно сказано, что остальными максимумами можно пренебречь, так как подавляющее большинство вылетят в пределах угла 2*fi
Ну тогда я вообще не понимаю что делать... Всё-таки нужно найти при каких углах будет нулевая амплитуда? Но внятной формулы для вычисления амплитуды я не нашёл...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 08:41 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Hostage в сообщении #805009 писал(а):
Но внятной формулы для вычисления амплитуды я не нашёл...

Для щели я выше формулу написал (лучше, конечно, ее проверить, я мог в аргументе где-нибудь двойку потерять).
Для круглого отверстия будет функция Бесселя $J_1$. Можно поглядеть Батыгин, Топтыгин "Сборник задач по электродинамике", задача 475 (издание 1970).
Для щели легко выводится самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 10:40 


22/12/13
36
-- 23.12.2013, 14:44 --

Цитата:
Для дифракции на щели амплитуда от угла зависит приблизительно как $\sin(k\Delta x\sin\varphi)/(k\Delta x\sin\varphi)$ (где $k$ - волновой вектор).

А может $\sin((k\Delta x\sin\varphi)/2)/((k\Delta x\sin\varphi)/2)$ ?
И $\k\ = 2\pi/\lambda$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 10:51 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Hostage в сообщении #805029 писал(а):
А может $\sin((k\Delta x\sin\varphi)/2)/((k\Delta x\sin\varphi)/2)$ ?

Скорее всего именно так. Я двойку запросто мог потерять.
Hostage в сообщении #805029 писал(а):
И $k\ = 2\pi/\lambda$ ?
Ага.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 12:11 


22/12/13
36
Получается нужно найти при каких значениях угла это выражение обращается в ноль?

-- 23.12.2013, 16:46 --

То есть
$\varphi = 2\pi k_1 + \sin^{-1}(\frac{k_2}{4}), k_1, k_2 \in \mathbb Z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 13:21 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Hostage в сообщении #805054 писал(а):
То есть
$\varphi = 2\pi k_1 + \sin^{-1}(\frac{k_2}{4}), k_1, k_2 \in \mathbb Z$
Угол лежит в промежутке $[0,\pi/2]$ :wink: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 14:14 


22/12/13
36
Цитата:
Угол лежит в промежутке $[0,\pi/2]$ :wink: .

Как вы это поняли? О_о

-- 23.12.2013, 18:54 --

Еще раз бы всё рассуждение с начала...
Получается, что если мы хотим узнать какие углы электрон "точно" не отклонится, нужно найти такие углы, для которых амплитуда нулевая. Амплитуда в свою очередь находится по формуле

$\frac{\frac{\sin (k\Delta x\sin\varphi)}{2}}{\frac{k\Delta x\sin(\varphi)}{2}}$

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

После того как подставим все известные величины получается, что
$\frac{\sin(4\pi\sin\varphi)}{4\pi\sin\varphi} = 0$

Решаем уравнение и в итоге получаем
$\varphi = 2\pi k_1 + \frac{1}{\sin(\frac{k_2}{4})}, k_1,k_2\in\mathbb Z$

Если я правильно понимаю $k_1$ может быть только 0, поэтому для нас имеет значение только 2 слагаемое. То есть $\varphi = \sin^{-1}(\frac{k_2}{4})$
Или я что-то упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение23.12.2013, 16:15 


22/12/13
36
И насчет промежутка - вы имели в виду, что все возможные значения угла ДОЛЖНЫ лежать в этом промежутке? И из этого я еще могу как-то упростить выражение для угла? Не совсем понимаю что делать дальше :-(

-- 23.12.2013, 20:45 --

И немного недопонимаю вывод формулы для щели.
Начинается с записи принципа Гюйгенса
Изображение
Я правильно понимаю, что $\Psi$ - это амплитуда? Но что такое $\Psi'$?
Далее после определенных преобразований приходим к
Изображение
Где
Изображение
Если я оказался прав, и $\Psi$ это на самом деле амплитуда, получается что это почти формула, которую я использовал. Но в данной формуле есть еще константа $aC$. $a$ - ширина щели. Куда она делась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение24.12.2013, 07:15 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
Hostage в сообщении #805175 писал(а):
И насчет промежутка - вы имели в виду, что все возможные значения угла ДОЛЖНЫ лежать в этом промежутке
Поглядите на картинку: видно ведь, что больше, чем на $\pi/2$, электрон отклониться не может (вас же интересуют проходящие через щель вперед).
Hostage в сообщении #805175 писал(а):
Но в данной формуле есть еще константа $aC$. $a$ - ширина щели. Куда она делась?

Это константа определяет интенсивность падающего пучка электронов. Поскольку вы будете приравнивать амплитуду к нулю, вас эта константа волновать не должна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифракция на щели(отверстии)
Сообщение24.12.2013, 09:44 


22/12/13
36
DimaM в сообщении #805365 писал(а):
Поглядите на картинку: видно ведь, что больше, чем на $\pi/2$, электрон отклониться не может (вас же интересуют проходящие через щель вперед).

Да, да, я просто сначала удивился - решил, что это Вы ответ уже написали :-) Понятно, что в обратном направлении он двигаться не может. Спасибо за помощь.
Еще такой вопрос - нашел, что при определенных допущениях мы можем сказать, что после прохождения щели волна будет заключена в пределах угла $\varphi = \frac{\lambda}{2d}$. Компанеец Что такое квантовая механика? 1977. Это какая-то грубая оценка?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group