Крайнее доказательство ВТФ для n=3

[venco]

Talinkin в сообщении #803026 писал(а):

Тогда можно записать: $g^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})/h^{3}$

Справа стоит целое,кроме ноля число,а слева куб простого.

Отсюда заключаем, что можно рассматривать только простые $c$, и $q=a+b$

Не заключаем, т.к. получилось уравнение другого вида. Не забывайте про $h^3$.

[Talinkin]

venco в сообщении #803075 писал(а):

Talinkin в сообщении #803026 писал(а):

Тогда можно записать: $g^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})/h^{3}$

Справа стоит целое,кроме ноля число,а слева куб простого.

Отсюда заключаем, что можно рассматривать только простые $c$, и $q=a+b$

Не заключаем, т.к. получилось уравнение другого вида. Не забывайте про $h^3$.

Извиняюсь, конечно, но я немного не понял.
Сократим на $h^{3}$ обе части уравнения, то получим: g$^{3}=H$ где $H$-целое,кроме нуля, а g-простое.
Отсюда с-простое.

Или это не так?

Пожалуйста, поясните

[yk2ru]

Talinkin в сообщении #803026 писал(а):

Пусть с-составное,т.е. $c=gh$, где g-простое, а h-целое,кроме 0

Вы заявили, что $c=gh$ является составным, так что не нужно после этого далее утверждать, что это число простое.

[Talinkin]

yk2ru в сообщении #803094 писал(а):

Talinkin в сообщении #803026 писал(а):

Пусть с-составное,т.е. $c=gh$, где g-простое, а h-целое,кроме 0

Вы заявили, что $c=gh$ является составным, так что не нужно после этого далее утверждать, что это число простое.

Спасибо, ответ понятен.

[ludwig51]

Talinkin в сообщении #802920 писал(а):

Замену переменных делаю я,следовательно я решаю какими будут $s$ и $t$, натуральными или рациональными.

Хорошо, проверим, правильное ли Ваше решение. Не потеряете ли Вы при таком решении весь ряд натуральных чисел.
Итак запишем Ваше уравнение в явном виде.
Исходное уравнение:

$$c^3=a^3+b^3\eqno (1) $$

Вы решаете задачу в общем виде: $a,b,c \in \mathbb{Z}$
Для избежания тривиальных решений должны выполняться условия: $a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0$
Ваше уравнение после деления левой и правой части исходного уравнения на $\left ( a+b \right )^3$

$$\left ( \frac{c}{a+b} \right )^3=\left ( 1-\frac{b}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{a+b} \right )^3\eqno (2) $$

Далее Вы делаете замену:

$$\frac{c}{a+b} \right =s\eqno (3) $$

$$\frac{b}{a+b}=t\eqno (4) $$

В этой замене очевидно: $s,t\in \mathbb{Q}$
И получаете Ваше новое уравнение в рациональных числах:

$$s^3=\left ( 1-t \right )^3+t^3\eqno (5) $$

Заменим переменную $1-t=r$
$r\in \mathbb{Q}$
И получим по Вашему методу новое уравнение в рациональных числах:

$$s^3=r^3+t^3\eqno (6) $$

Заметим, что $\mathbb{Z}\in \mathbb{Q}$
Вы из уравнения (6) выбираете только целые числа.
При этом вы теряете не только весь ряд натуральных чисел, но и множество целых чисел $a,b,c$ исходного уравнения (1).
Теперь рассмотрим главный аргумент Вашего доказательства:
Из уравнения (6):$r+t=1-t+t=1$
Вы утверждаете, что r+t=1 не имеет решения в целых числах.
Имеет решение и в целых числах и в рациональных.
Выражение $1-t+t=1$ имеет решения для любых t, в том числе и для иррациональных и для комплексных.

И для полной ясности привожу график Вашей функции:



Область натуральных чисел для $a,b,c$ находится в интервале рациональных чисел $0< t< 1$

[Talinkin]

ludwig51
Спасибо за развернутый ответ.

[venco]

Talinkin в сообщении #803085 писал(а):

venco в сообщении #803075 писал(а):

Talinkin в сообщении #803026 писал(а):

Тогда можно записать: $g^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})/h^{3}$

Справа стоит целое,кроме ноля число,а слева куб простого.

Отсюда заключаем, что можно рассматривать только простые $c$, и $q=a+b$

Не заключаем, т.к. получилось уравнение другого вида. Не забывайте про $h^3$.

Извиняюсь, конечно, но я немного не понял.
Сократим на $h^{3}$ обе части уравнения, то получим: g$^{3}=H$ где $H$-целое,кроме нуля, а g-простое.
Отсюда с-простое.

Ну откуда вы взяли это "отсюда"?

[Talinkin]

venco в сообщении #803165 писал(а):

Ну откуда вы взяли это "отсюда"?

Теперь понял,спасибо.

-- 18.12.2013, 20:01 --

ludwig51 в сообщении #803101 писал(а):

Ваше уравнение после деления левой и правой части исходного уравнения на $\left ( a+b \right )^3$

$$\left ( \frac{c}{a+b} \right )^3=\left ( 1-\frac{b}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{a+b} \right )^3\eqno (2) $$

Я никаких делений не провожу.

[Talinkin]

vorvalm в сообщении #803029 писал(а):

Talinkin в сообщении #803026 писал(а):

А дело в том, что $(a+b)$ и $c$ - простые.

C не может быть простым. См. формулы Абеля.

У нас $c<a+b$.
Пусть $(a+b)$ - простое, тогда с делится на $(a+b)$, но $c<a+b$.Противоречие.
Пусть c - простое, тогда $c=(a+b)$,Противоречие с $c<a+b$.

[venco]

Talinkin в сообщении #803212 писал(а):

У нас $c<a+b$.
Пусть $(a+b)$ - простое, тогда с делится на $(a+b)$, но $c<a+b$.Противоречие.
Пусть c - простое, тогда $c=(a+b)$,Противоречие с $c<a+b$.

Правильно, поэтому и $c$, и $a+b$ составные.

[Talinkin]

venco в сообщении #803214 писал(а):

Правильно, поэтому и $c$, и $a+b$ составные.

Пусть $(a+b)=u^{2}v$, где $u$ и $v$ - простые.$v\neq u$
Пусть $H=(a^{2}-ab+b^{2})$
Тогда:
$c^{3}=u^{2}vH$.
Пусть $с=vw$,где $w$-простое.$w\neq v,u$
Тогда $w^{3}v^{2}=u^{2}H$
$w^{3}=u^{2}(H/v^{2})$
Следовательно $w=u$.
Противоречие.
$v^{2}=u^{2}(H/w^{3})$
Следовательно $v=u$.Противоречие.

[yk2ru]

Talinkin в сообщении #803548 писал(а):

Пусть $(a+b)=u^{2}v$, где $u$ и $v$ - простые.$v\neq u$

Даже если вы и правильно получили противоречие из этого допущения, это всё равно не докажет теорему. Другие случаи представления $(a+b)$ через множители вы будете рассматривать?

[vorvalm]

Кстати, $H$ так же составное.

[Talinkin]

yk2ru в сообщении #803557 писал(а):

Talinkin в сообщении #803548 писал(а):

Пусть $(a+b)=u^{2}v$, где $u$ и $v$ - простые.$v\neq u$

Даже если вы и правильно получили противоречие из этого допущения, это всё равно не докажет теорему. Другие случаи представления $(a+b)$ через множители вы будете рассматривать?

Пусть $(a+b)=qw$, где $q$ - простое.А $w$ - составное и $w$ не делится на $q$.
Пусть $H=(a^{2}-ab+b^{2})$
Тогда:
$ c^{3}=qwH $.
Пусть с=qL.
Тогда $q^{2}L^{3}=wH$
$w=q^{2}(L^{3}/H)$
Следовательно $w$ делится на $q$


Противоречие.

[venco]

Talinkin в сообщении #803597 писал(а):

Следовательно $w$ делится на $q$

Не "следовательно". Ещё может $H$ делиться на $q$.