Дробные части x^n

[green_orange]

Пусть $|x|>1$. Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} \{x^n\}=a$. Верно ли, что:
1)$a=0$
2)$x$ - целое алгебраическое, причём все сопряжённые по модулю меньше 1?

[ИСН]

(2) без дополнительных предположений не доказано.

[green_orange]

Подскажите, почему верно (1)? Известно ли хотя бы, что $x$ - (целое) алгебраическое?

[patzer2097]

green_orange в сообщении #803066 писал(а):

Подскажите, почему верно (1)? Известно ли хотя бы, что $x$ - (целое) алгебраическое?

Такое впечатление, что (1) неверно. Кажется, что при $x=(\sqrt5+3)/2$ верно $\lim_{n\to\infty}\{x^n\}=1$.

[green_orange]

patzer2097 в сообщении #803116 писал(а):

Такое впечатление, что (1) неверно. Кажется, что при $x=(\sqrt5+3)/2$ верно $\lim_{n\to\infty}\{x^n\}=1$.

Здесь следует отождествить 0 с 1 (не знаю, как это строго называется). Например, при $x=1+\sqrt{2}$ степени приближаются к целым то сверху, то снизу, т. е. последовательность нечётных степеней сходится к 0, а чётных к 1.