2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 08:54 
Аватара пользователя


21/01/10
146
Правильно я понимаю, что число векторов в $n$ мерном векторном пространстве над конечным полем из $q$ элементов равно $q^n$?
Пространство $n$ мерное, т.е. в базесе $n$ векторов, значит все вектора пространства - это все их линейные комбинации с коэффициентами из поля, т.е. $n$ позиций, в каждой из которых $q$ возможных значений ($q$-ичная система счисления со словами длины $n$), т.е. $q^n$.

-- Вт дек 17, 2013 09:07:13 --

а разных базисов в таком пространстве $q \cdot n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 09:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
ean в сообщении #802476 писал(а):
а разных базисов в таком пространстве $q \cdot n$?
Базисы двумерного пространства над $\mathbb Z_2$: $(01,10),(10,01),(01,11),(10,11),(11,01),(11,10)$. Больше четырёх. Попробуйте ещё раз!

-- Вт дек 17, 2013 12:21:59 --

Если считать неупорядоченными, то меньше четырёх и тоже не подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 09:25 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Если уж прям буквально читать определения, ничто не мешает, насколько я помню, взять $\mathbb R^n$ и объявить его векторным пространством над полем, к примеру, рациональных чисел. Или над полем $\{0, 1\}$. Размерность, конечно, бесконечная.
С произвольным конечным полем таки будут некоторые проблемы, но, подозреваю, и для них можно придумать чего-нить столь же неожиданное, сколь бесполезное.
А, нет, даже для $\{0, 1\}$ пространство вот так запросто не построишь... Подумаю ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 10:02 
Аватара пользователя


21/01/10
146
Наверное, про количество базисов правильно так $q \cdot n -1$ (исключаем нули). Для примера получаются следующие базисы $(e_1,e_2),(e_1,e_1+e_2),(e_2,e_1+e_2)$. Упорядоченными они быть не должны.

-- Вт дек 17, 2013 10:03:07 --

надо ещё подумать

-- Вт дек 17, 2013 10:11:05 --

для трёхмерного пространства над $\mathbb Z_2$ это уже не работает, там гораздо больше. Скорее что-нибудь про число сочетаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 11:20 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Как построить базис $\mathbb F_q^n$? Берем один ненулевой вектор, теперь берем второй, который не лежит в линейной оболочке, натянутой на первый вектор — сколько таких векторов? Теперь берем третий вектор, который не лежит в линейной оболочке, натянутой на первые два вектора, и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 11:38 
Аватара пользователя


21/01/10
146
Пусть для $k$-мерно пространства кол-во разных базисов $t_k$. При добавлении единицы к размерности добавляем некоторый вектор $e_{k+1}$ с координатами $(0,....,0,1)$. Тогда к каждому базису $k$-мерного пространства можно добавить $q^{k+1}-q$ вектор (векторы с последней компонентой не равной нулю), так чтобы получался базис $k+1$-мерного пространства. То есть $t_{k+1}=t_k \cdot (q^{k+1}-q)$.
Тогда получается, что $t_n=\prod_{k=1}^n(q^{k+1}-q)$. При подстановке конкретных значений результаты неправильные. Помогите найти ошибку в моих рассуждениях.

-- Вт дек 17, 2013 11:39:59 --

Joker_vD в сообщении #802517 писал(а):
сколько таких векторов?

таких векторов $q^n-q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А почему у предыдущих векторов не может появиться единица в последнем разряде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 11:55 
Аватара пользователя


21/01/10
146
provincialka в сообщении #802527 писал(а):
А почему у предыдущих векторов не может появиться единица в последнем разряде?

тогда совпадёт с чем-нибудь из "нового" набора

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение17.12.2013, 12:32 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ean в сообщении #802525 писал(а):
Тогда к каждому базису $k$-мерного пространства можно добавить $q^{k+1}-q$ вектор (векторы с последней компонентой не равной нулю), так чтобы получался базис $k+1$-мерного пространства. <...>Помогите найти ошибку в моих рассуждениях.


Вы не учли те базисы, у которых среди первых $k$ векторов есть векторы с ненулевой последней компонентой, поэтому ответ неправильный. :P

А Вы попробуйте воспользоваться советом Joker_vD. Сколько ненулевых векторов в $\mathbb{F}^n$? Правильно, $q^n-1$. А сколько векторов не выражаются через него линейно? Вы тоже ответили --- $q^n-q$ --- это число способов выбора первых двух векторов базиса. А сколько есть способов выбрать третий вектор? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение18.12.2013, 09:50 
Аватара пользователя


21/01/10
146
patzer2097 в сообщении #802549 писал(а):
Вы не учли те базисы, у которых среди первых $k$ векторов есть векторы с ненулевой последней компонентой, поэтому ответ неправильный. :P

Когда мы повышаем размерность пространства, мы, грубо говоря, добавляем новую координату. Мы получаем столько вариантов расширить базис, сколько есть векторов в этот новом пространстве, у которых последняя компонента ненулевая. Всего разных векторов $q^n$, с нулевой компонентой $q$ векторов, значит получаем $q^n-q$ вариантов расширения базиса. Тогда всего разных базисов количество базисов в предыдущем пространстве умножить на $q^n-q$. Если я правильно понимаю, в эти $q^n-q$ входят все векторы с ненулевой последней компонентов, т.е. я их не теряю. Или что-то не так?

patzer2097 в сообщении #802549 писал(а):
А Вы попробуйте воспользоваться советом Joker_vD. Сколько ненулевых векторов в $\mathbb{F}^n$? Правильно, $q^n-1$. А сколько векторов не выражаются через него линейно? Вы тоже ответили --- $q^n-q$ --- это число способов выбора первых двух векторов базиса. А сколько есть способов выбрать третий вектор? :-)

мне кажется, я этим способом и иду, добавляю те векторы, которые не влезают в линейную оболочку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число векторов векторного пространства на конечным полем
Сообщение18.12.2013, 18:40 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Так, вот вам $\mathbb F_q^3$, посчитайте для него количество базисов своим методом, тогда и посмотрим, так или не так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group