Проективное пространство

[ivvan]

http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_space#Dual_projective_space писал(а):

When the construction above is applied to the dual space $V^*$ rather than $V$, one obtains the dual projective space, which can be canonically identified with the space of hyperplanes through the origin of $V$.

То есть, дуальное проективное пространство - всего лишь пространство прямых дуального (сопряжённого) пространства. Более глубокого смысла в структуре проективного пространства можно не искать . Спасибо, что пытались ответить.

[Munin]

ivvan в сообщении #801470 писал(а):

Более глубокого смысла в структуре проективного пространства можно не искать :facepalm: .

Ну, на самом деле "более глубокий смысл" здесь есть. Он заключается в том, что для проективной геометрии любая теорема верна также в двойственной формулировке. Например, на плоскости - если заменить все прямые точками, а точки прямыми. В $n$-мерии - если заменить все $k$-мерные подпространства $(n-1)-k$-мерными.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #801441 писал(а):

видимо, целый континуум листов Мёбиуса, между каждой парой противоположных точек... жжёт.

да, да, Munin
жжеете, но опять мимо сути дела. Граница полусферы -- окружность. Граница листа Мебиуса тоже окружность. Вот эти окружности и отождествяются. Получается многообразие без края.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #801482 писал(а):

Получается многообразие без края.

Проективной плоскостью не являющееся (кроме как в контексте дифференциальной топологии, про которую явно речь не идёт).

Впрочем, смотреть, как вы делаете хорошую мину при плохой игре, забавно.

[provincialka]

Люди, не ругайтесь! Конечно, вклеивание листа М. Дает только топологически эквивалентный образ. Но утверждение Munin, что "половина границы все же есть" меня как-то напрягло. Где там граница, все точки проективной плоскости равноправны. И даже сферы, отображенной в плоскость с помощью центральной проекции.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #801486 писал(а):

Проективной плоскостью не являющееся

Мищенко Фоменко Курс Дифференциальной Геометрии

Munin в сообщении #801486 писал(а):

(кроме как в контексте дифференциальной топологии

вы базовые вещи сперва освойте, потом будете про контекст.

[Munin]

provincialka в сообщении #801494 писал(а):

Где там граница, все точки проективной плоскости равноправны.

Разумеется, граница есть, только если мы разрезаем мячик ножницами, и пытаемся смотреть на полмячика как на модель проективной плоскости (эллиптической плоскости). Тогда мы сначала должны создать границу (ножницами), а потом половину точек выкинуть, а половину - приклеить к противоположной части мячика. Края многообразия там не будет, при приклеивании он исчезнет.

provincialka в сообщении #801494 писал(а):

И даже сферы, отображенной в плоскость с помощью центральной проекции.

Вот как раз для такой сферы, на экваторе надо взять только половину точек. Противоположные точки экватора отождествляем.

[provincialka]

Ладно, будем считать это объяснением. Меня другое интересует: для кого мы стараемся? Все последние участники разговора знают, о чем речь. Кому же мы адресуемся? Благодарным потомкам читателям?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #801495 писал(а):

Мищенко Фоменко Курс Дифференциальной Геометрии

Слово "гомеоморфно" видите? :-)

[Oleg Zubelevich]

Теперь у меня вопрос. Вот я правильно понимаю, что четномерные (действительные) проективные пространства являются неориентируемыми многообразиями, а нечетномерные -- ориентируемы?

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #801507 писал(а):

Теперь у меня вопрос. Вот я правильно понимаю, что четномерные (действительные) проективные пространства являются неориентируемыми многообразиями, а нечетномерные -- ориентируемы?

Да, старшие гомологии вещественного проективного $n$-мерного пространства тривиальны тогда и только тогда, когда $n$ четно.