2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Норма линейного оператора
Сообщение14.12.2013, 12:38 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Здравствуйте!
Не могли бы вы проверить, правильно ли я нашел норму следующего линейного оператора:
$A : l_1 \longrightarrow CL_1[0,1]$
$\[
(Ax)(t) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x(k)}{\sqrt{2k-t}} ~ \forall x \in l_1 , ~ \forall t \in [0,1].
\]$

$\|x\|_{l_1} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x(k)|, $
$\|x\|_{CL_1[0,1]} = \int\limits_{0 }^1 |x(t)|dt$

$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_{l_1} = 1} \|A(x)\|_{CL[0,1]}.$
Оценим
$\int\limits_{0 }^1 |\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x(k)}{\sqrt{2k-t}}|dt \le \int\limits_{0 }^1 \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{|x(k)|}{\sqrt{2k-t}}dt.$
Так как
$\frac{1}{\sqrt{2k-t}} \le \frac{1}{\sqrt{2k-1}} ~ \forall t \in [0,1]$, то
$
\int\limits_{0 }^1 \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{|x(k)}{\sqrt{2k-t}}dt \le \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2k-1}}|x(k)|\int\limits_{0 }^1dt \le \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x(k)| = \|x\|_{l_1}.$
Значит $\|A\| \le 1$.
Возьмем последовательность $x(k) =  \frac{6}{\pi^2}\frac{1}{2k^2(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k})} \in l_1$ (То, что она из $l_1$ несложно показать). Тогда, учитывая, что $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6},  ~ \int\limits_{0 }^1\frac{dt}{\sqrt{2k-t}} = 2(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k})$ и ряд почленно интегрируем, получим, что норма оператора на такой последовательности равна 1. Следовательно, $\|A\| = 1.$

-- Сб дек 14, 2013 13:10:43 --

Похоже, я уже нашел ошибку. Последовательность, которую я выбрал по норме в $l_1$ не равна 1. Так, дальше думать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение14.12.2013, 14:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
У Вас же после почленного интегрирования иксы будут под знаком суммы умножаться на монотонно убывающую последовательность. Соответственно, и норма достигается на элементе $(1,0,0,0, ...)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение14.12.2013, 17:50 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Спасибо огромное!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group