Помогите выразить переменные

[leeroykam]

Нужно решить систему однородных дифференциальных уравнений. Я не прошу ничего решать,нужна лишь помощь с выражением переменных.

$$ \begin{cases} \dot{x}=-2y-z,&\text{}\\ \dot{y}=-x+y+z,&\text{}\\ \dot{z}=-x-2y,&\text{} \end{cases} $$

-- 11.12.2013, 15:08 --

Мои мысли: из третьего уравнения $\dot{z}=-x-2y => \ddot{z}=-\dot{x}-2\dot{y} => \ddot{z}=2y+z+2x-2y-2z => \ddot{z}+z=2x$ и что дальше делать с этим х - ума не приложу.

[iifat]

Вообще-то, гугл по запросу "решение систем линейных дифференциальных уравнений" выдаёт 230000 ссылок. И, что не может не радовать, вам не нужно читать их все: достаточно первой.

[mihailm]

Не надо самодеятельности - такие номера только со школьными задачами проходят
Выражаете например из первого y, подставляете во второе и третье, далее выражаете x или z из полученных, подставляете и т.д.

[leeroykam]

mihailm в сообщении #799157 писал(а):

Не надо самодеятельности - такие номера только со школьными задачами проходят
Выражаете например из первого y, подставляете во второе и третье, далее выражаете x или z из полученных, подставляете и т.д.

Выразил из первого z:$ z=-\dot{x}-2y ; \dot{z}=-\ddot{x}-2\dot{y}$. Подставил во второе и третье: $\dot{y}=-x+y+z=-x-\dot{x}-y $; $-\ddot{x}-2\dot{y}=-x-2y$. А что дальше? Как не вертел,оставался многочлен от двух неизвестных.

[gris]

Второй производной не обойдётесь.

[leeroykam]

gris в сообщении #799178 писал(а):

Второй производной не обойдётесь.

Взял производную от третьего уравнения:$-\dddot{x}-2\ddot{y}=-\dot{x}-2\ddot{y}$
Взял так же производную от второго уравнения: $\ddot{y}=-\dot{x}-\ddot{x}-\dot{y}$
И при подстановке получается многочлен от двух неизвестных.

[gris]

При дифференцировании трёх уравнений системы и первого двукратно, мы получим линейную систему из семи уравнений с десятью неизвестными. Шесть исключаем, четыре $x''', x'',x',x$ остаются. Одно уравнение. Просто будьте терпеливы.

[svv]

leeroykam
Хотите покажу легкий нечестный способ?
Часть рутинных подготовительных действий выполнит компьютер (при этом действия эти вроде как и не относятся прямо к дифференциальным уравнениям), а собственно решать систему (но уже в более простом виде) будете Вы сами.

[leeroykam]

svv в сообщении #799207 писал(а):

Хотите покажу легкий нечестный способ?

Буду весьма благодарен,если покажете.

[svv]

Запишем Вашу систему в матричной форме: $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf x$, где
$A=\begin{bmatrix}0&-2&-1\\-1&1&1\\-1&-2&0\end{bmatrix}\quad\quad \mathbf x=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$
Точка над вектором — производная по независимой переменной $t$.

Заходим на WolframAlpha и набираем в окошке
Jordan decomposition
В маленькое окошко matrix надо ввести нашу матрицу $A$. Синтаксис такой:
{{0,-2,-1},{-1,1,1},{-1,-2,0}}
И запускаете. Результатом будет представление матрицы в виде
$A=SJS^{-1}$
Здесь $S$ — это некоторая невырожденная матрица, преобразующая $A$ к жордановой форме, а $J$ — собственно жорданова форма матрицы $A$. Матрица $J$ управляет всей ситуацией и очень важна. Она имеет простой вид, но при этом содержит в себе все существенные особенности системы ДУ.

WolframAlpha выдает:
$S =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\0 & -1 & -1\\1 & 1 & 0\end{bmatrix}\quad\quad J = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\quad\quad S^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\-1 & -1 & 1\\1 & 0 & -1\end{bmatrix}$

Моя просьба к Вам. Проверьте вручную, что
1) $SS^{-1}=E$
2) $SJS^{-1}=A$
И, когда Вы это проверите (а то мало ли, что робот может выдать) и подтвердите, я покажу, как просто теперь решить систему.

[leeroykam]

Жордановой формой нам пользоваться нельзя-соответствующий лекционный материал не был прочитан. А решение системы у меня уже есть-методом неизвестных коэффициентов. Вторая часть этого задания - решить систему методом исключения.

[svv]

Ничего страшного, мы забежим немножко вперед. Вы встречали афоризм «Принимаясь за решение задачи, всегда полезно знать ответ»?

Жорданова форма просто упрощает вид матрицы, но по сути ничего не меняет. Вам нужно будет, в общем, сделать то же самое, что Вы и собирались.

[leeroykam]

gris в сообщении #799188 писал(а):

При дифференцировании трёх уравнений системы и первого двукратно, мы получим линейную систему из семи уравнений с десятью неизвестными. Шесть исключаем, четыре $x''', x'',x',x$ остаются. Одно уравнение. Просто будьте терпеливы.

Пришел к уравнению $-\dddot{x}+\ddot{x}+3\dot{x}+2\dot{y}=0$и завис.

[mihailm]

leeroykam в сообщении #799173 писал(а):

...
Выразил из первого z: z=-x'-2y ; z'=-x''-2y'. Подставил во второе и третье: y'=-x+y+z=-x-x'-y ; -x''-2y'=-x-2y. А что дальше? Как не вертел,оставался многочлен от двух неизвестных.

Ну избавьтесь теперь от y' (одно плюс другое на 2), выражайте y и подставляйте куда можно, всеж просто

[leeroykam]

svv в сообщении #799340 писал(а):

Моя просьба к Вам. Проверьте вручную, что
1) $SS^{-1}=E$
2) $SJS^{-1}=A$
И, когда Вы это проверите (а то мало ли, что робот может выдать) и подтвердите, я покажу, как просто теперь решить систему.

Все верно.