2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 17:18 


03/08/12
458
Здравствуйте!

Пусть идеалы $I_1, I_2, \dots, I_m\subset A$ коммутативного кольца $A$ с единицей таковы, что $I_i+I_j=A$ для всех $i\neq j.$ Показать, что $I_1I_2\dots I_m=I_1\cap I_2\cap \dots \cap I_m$ и построить изоморфизм $A/ I_1I_2\dots I_m \longrightarrow (A/I_1)\times \dots \times (A/ I_m)$

Равенство я доказал без проблем. А вот построить отображение и доказать, что он изоморфизм у меня не получается. Помогите пожалуйста так как довольно сыроват в таких темах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:04 
Аватара пользователя


03/10/13
449
$ x \to (x \mod I_1, x \mod I_2, x\mod I_3, ..., x \mod I_m)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:08 


03/08/12
458
А что в данном контексте означает $x \mod I_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:10 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ward в сообщении #798780 писал(а):
А что в данном контексте означает $x \mod I_1$?
Смежный класс по идеалу $I_1$, порожденный элементом $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:14 


03/08/12
458
Я не знаток в алгебре, но полагаю, что это элемент вида $x+I_1=\{x+y| y\in I_1\}$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:18 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Ward в сообщении #798784 писал(а):
Я не знаток в алгебре, но полагаю, что это элемент вида $x+I_1=\{x+y| y\in I_1\}$. Верно?

Верно.
Значком $A/I$ — обычно обозначают факторкольцо по идеалу. Факторкольцо — это какое-то разбиение кольца $A$ на классы эквивалентности сохраняющее хорошие свойства. Вот тот класс эквивалентности, в котором лежит $x$ и обозначают $x \mod I$, или, как вы сказали, $x+I$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:20 


03/08/12
458
А как показать, что он изоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:29 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ward в сообщении #798787 писал(а):
То, что это отображение гомоморфизм вроде как понятно. Тут операции сохраняются.
А как показать, что он изоморфизм?
Найдите ядро? Тогда сразу станет ясно, что это мономорфизм. Ну а то, что это эпиморфизм, следует из Китайской теоремы об остатках попарной взаимной простоты идеалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 18:35 


03/08/12
458
$\text{Ker}f=\{x: f(x)=0\}$
Нам надо найти теперь ядро нашего отображения. Это множество $x\in A$ таких, что $(x+I_1, \dots, x+I_m)=(0, \dots, 0)$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Китайская теорема об остатках
Сообщение10.12.2013, 20:24 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ward в сообщении #798794 писал(а):
$\text{Ker}f=\{x: f(x)=0\}$
Нам надо найти теперь ядро нашего отображения. Это множество $x\in A$ таких, что $(x+I_1, \dots, x+I_m)=(0, \dots, 0)$. Верно?
Как-то неаккуратно записано. Слева набор классов, справа - элементов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group