2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Винеровский процесс (нестандартная задача)
Сообщение18.09.2007, 23:28 
Аватара пользователя


16/09/07
78
г. Киев
Задача состоит в следующем: есть совокупность винеровских прооцессов, стартующих из точек 0, 1, 2, 3,... Для каждого из процессов 1, 2, 3,... расссмотрим случайные величины: момент первой встречи этого процесса с 0-ым.Нужно найти распределение суммарного количества встреч за время T.
Уже найдено рапределение каждого отдельного момента встречи и с помощью леммы Бореля-Кантелли доказано, что их конечное число с вероятностью 1.
Буду рад выслушать любые предложения.[/b]

 Профиль  
                  
 
 Re: Винеровский процесс
Сообщение26.09.2007, 13:36 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
pasha_ch писал(а):
Задача состоит в следующем: есть совокупность винеровских прооцессов, стартующих из точек 0, 1, 2, 3,... Для каждого из процессов 1, 2, 3,... расссмотрим случайные величины: момент первой встречи этого процесса с 0-ым.Нужно найти распределение суммарного количества встреч за время T.
Уже найдено рапределение каждого отдельного момента встречи и с помощью леммы Бореля-Кантелли доказано, что их конечное число с вероятностью 1.
Буду рад выслушать любые предложения.[/b]


Ну прежде всего, независимы ли Ваши винеровские процессы?
Наверное, да - иначе все становится еще сложнее :)

Кое-что по теме Вы можете найти у Шрива (Steven Shreve) (§3.6. First Passage Time Distribution).
В Сети также есть бесплатный черновик этой книги в виде Lecture Notes, читанных Шривом.

Я бы решал примерно так: пусть $m = const$ - некий уровень, $\tau_m$ - время, в которое винеровский процесс впервые пересекает этот уровень. Тогда (см. Шрива)
$$
\mathbb{P}\{ \tau _m  \le T\}  = {2 \over {\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{{{\left| m \right|} \over {\sqrt T }}}^\infty  {e^{{{y^2 } \over 2}} } dy
$$

Но это верно только для "стандартного" винеровского процесса, т.е. который начинается из нуля.
Теперь, возвращаясь к Вашей ситуации: рассмотрим, например, процесс
$X(t): = W^0 (t) - W^1 (t)$ - т.е. разность винеровских процессов, стартующих, соотв., в нуле и в единице.
Т.к. при суммировании нормальных случайных величин ожидания и дисперсии складываются, то в каждый момент времени $t$ $X(t)$ ~ $N(-1, 2t)$, инкременты его будут нормальны и независимы - ну т.е. "почти" винеровский процесс, только дисперсия в два раза больше.

Очевидно, что $W^0 (t)$ и $W^1 (t)$ встречаются тогда и только тогда, когда $X(t)=0$

Теперь для удобства сдвинем его на единицу вверх по оси ОY и рассм. $Y(t) := X(t) +1$
Тогда $Y(t)$ стартует из нуля и мы можем рассматривать событие, что $Y(t) \ge 1$
И вот тут (imho!) можно доказать, что для $Y(t)$ формула из Шрива будет иметь вид
$$
\mathbb{P}\{ \tau _m^{Y(t)}  \le T\}  = {2 \over {\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{{{\left| m \right|} \over {\sqrt {2T} }}}^\infty  {e^{{{y^2 } \over 2}} } dy
$$.
Для этого надо почти дословно повторить рассуждения Шрива, главное, что $Y(t)$ - мартингал.
Осталось только подставить $m=1$ :)

Аналогично рассматриваете встречу с другими процессами - ну т.к. эти встречи независимы, то дальше уже несложно посчитать и вероятности суммарного кол-ва встреч.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.10.2007, 19:36 
Аватара пользователя


16/09/07
78
г. Киев
Спасибо за предложение....но есть одно но...
Все винеровские процессы то независимы, но так как рассматриваются моменти встречи всех
из одним фиксированым - стартующим из 0, то эти моменты встреч не будут независимыми. Да и распределены они по разному, а это утрудняет подсет распределения суммарного количества встреч (ведь даже если бы они были независимы, модель биномиального рапределения использовать нельзя именно из-за того, что отдельные моменты распределены по разному)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.10.2007, 09:49 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
pasha_ch писал(а):
Спасибо за предложение....но есть одно но...
Все винеровские процессы то независимы, но так как рассматриваются моменти встречи всех
из одним фиксированым - стартующим из 0, то эти моменты встреч не будут независимыми.

Это почему?
Что особенного в том, что мы фиксируем один из независимых процессов?


pasha_ch писал(а):
Да и распределены они по разному, а это утрудняет подсет распределения суммарного количества встреч (ведь даже если бы они были независимы, модель биномиального рапределения использовать нельзя именно из-за того, что отдельные моменты распределены по разному)

Это да, но что ж поделаешь - в теории случайных процессов громоздские формулы - не редкость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2007, 20:00 
Аватара пользователя


16/09/07
78
г. Киев
Возник еще один вопрос: как найти совместную плотность для моментов первой встречи (хотя бы в случае двух таких моментов, т.е. для моментов встречи винеровских процесов, стартующих из точек один и два, с процессом, стартующим из нуля).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group