2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 14:41 


02/12/13
13
Здравствуйте!
Столкнулась с проблемой при самом начале решения(

Дана ф-я плотности $f(x y) =$  $cx+y$ , определенная на промежутке: x принадлежит $[0;1]$, $|y|<x$

При других значениях $x$ и $y$, $f(xy) =0$.


Найти с нужно через двойной интеграл$$\iint_{-\infty}^{\infty}\ f(x, y) dx dy = 1$$ Но какие пределы интегрирования расставить? Для x понятно - от 0 до 1. А для $y$?

И как записать вероятность $$P(X\textgreater0.5   Y\textgreater0.5)$$,
можно ли через двойной интеграл - от 0 до $+ \infty$
или тут по аналогии с одномерными функциями, нужно от единицы отнимать?

Пожалуйста, подскажите! Завтра сдавать....

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Нарисуйте картинку. Область интегрирования хорошая. Пределы расставляются просто, как в обычном повторном интеграле.
Выражение для вероятности из второго вопроса, очевидно, надо записать как $P(X>0.5; Y>0.5)$. Хотя и в первоначальном виде оно тоже задаёт некую область. Это будет часть общей области интегрирования, и там тоже все получается несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 15:29 


02/12/13
13
gris
Cпасибо,

Область получается треугольная => $$\int_0^1dx \int_0^x cx+y dy$$

=>c=2.5

А интеграл для нахождения вероятности:
$$\int_{0,5}^1  dx \int\limits_ {0,5}  ^{x} x\cdot 2.5+y dy $$

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Второе правильно (насчёт пределов интегрирования!). А в первом область интегрирования всё-таки в два раза больше. Она и под осью иксов присутствует. Игрек у нас по модулю, то есть и отрицательные значения входят. Ну там подправить чуть чуть. По игрек мы не от нули интегрируем, а пониже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 15:44 


02/12/13
13
gris
Спасибо вам огромное! Очень выручили.

-- 02.12.2013, 16:55 --

Выходит:
$$\int_0^1  dx \int_{-x}^{x} cx+y dy $$

=> c=3/2

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 16:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Формально $dy$ — множитель, на который умножается вся подынтегральная функция, и если она сама является суммой, её надо брать в скобки: $\int(cx+y)\,dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 17:14 


02/12/13
13
svv

Да, согласна. Не придала этому значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение02.12.2013, 21:22 


02/12/13
13
Возник вот еще какой вопрос по этому примеру:

Нужно найти маргинальный ф-и плотности для x и y.
Для $f_y$ нужно ставить пределы интегрирования - от 0 до 1. А для $f_x$? Если смотреть по рисунку, то y меняется как от -1 до 1, так и от $-x$ до $x$. Какие пределы нужно ставить в таком случае? Это ведь влияет на результат сильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос:подсчет вероятности через функцию плотности
Сообщение03.12.2013, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
И для $f_Y(y)$ пределы не от 0 до 1.

Поставьте точку $y$ на оси ординат. Проведите горизонтальную прямую через неё. По отрезку, по которому прямая пересекает треугольник, и нужно интегрировать. Например, при $y=0{,}5$ это будет отрезок от $0{,}5$ до $1$. Так же для $f_X(x)$ - поставить $x$ на оси абсцисс, провести вертикальную прямую, интегрировать по отрезку внутри треугольника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group