Вычислить объем шара с вырезанной шарообразной полостью

[HukumuH]

Как вычислить объем шара с вырезанной шарообразной полостью через тройной интеграл в сферических координатах? Полость полностью внутри.
Расстояние между центрами - $a$, радиус полости - $rc$, радиус шара - $Rs$;
$0 \leqslant rc+a \leqslant Rs$ ;


Возможны 2 варианта:
http://**invalid link**/a/img443/4162/wiuy.png
http://**invalid link**/a/img17/7614/291g.png
Пределы интегрирования в этих 2 случаях разные. Для случая попадания центра шара в полость $a <\ rc$:

$ \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{-a\cdot\sin (\theta) + \sqrt{{(a\cdot\sin (\theta))}^2 - (a^2 - rc^2)}}^{Rs} {{\rho}^{2}}\sin (\theta ) \mathrm d\rho \mathrm d\theta \mathrm d\varphi $

Для случая $a >\ rc$:
$ \int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{2 \sqrt{{(a\cdot\sin (\theta))}^2 - (a^2 - rc^2)}}^{Rs} {{\rho}^{2}}\sin (\theta ) \mathrm d\rho \mathrm d\theta \mathrm d\varphi $

Я записал уравнение окружности с центром в точке ($a$;0) и радиусом $rc$ в полярных координатах, записал уравнение прямой. Решая систему можно найти радиальные координаты 2-х точек пересечения. Согласно этому соответствующим образом записал пределы интегрирования по радиальной координате. Однако ответ не сходится с проверкой разностью объемов шаров, рассчитанных по классической формуле. Кроме того , при $\theta \geqslant \arccos (rc/a) $ прямая вообще не пересекает контур полости и неизвестно, что будет.


Я вообще не совсем понимаю, что обозначают эти 3 интеграла. 1-й — сумма расстояний, что в итоге дает радиус; 2-й — сумма всех направлений от положительного до отрицательного направлений оси Z, что в итоге дает площадь сегмента в половину круга; 3-й — сумма этих сегментов в поперечном направлении, что дает объем. Так? Но тогда я получаю объем шара минус объем тора. Проверил через разность объемов по классическим формулам — тоже не сходится.

[arseniiv]

Если полость полностью внутри, то объём фигуры будет равен разности объёмов полного шара и шара-полости. Или вам обязательно интегралы?

Интегралы можно свести к одному случаю: возьмите цилиндрические координаты с осью $z$, направленной через центры шаров.

(Не пробовал с ними, но они явно уместнее сферических. Цилиндрическая симметрия есть, когда сферической не видно. Может, и декартовы бы сгодились?)

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #794298 писал(а):

Если полость полностью внутри, то объём фигуры будет равен разности объёмов полного шара и шара-полости.

А если не полностью внутри, то разности объёмов шаровых сегментов (насколько я помню, формула для сегмента хорошо работает в области больше полушара).