2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 13:55 


29/03/11
53
Помогите решить 2 задачи, пожалуйста.

1)Определить мощность множества всех последовательностей, члены которых - непрерывные на сегменте [0,1] функции
Решаю так:
Непрерывных функций - континуум, а учитывая что в последовательности не более, чем счётное множество членов - функций, то последовательностей не более, чем континуум - тут вроди бы преподаватель согласен.

Не согласен он вот с чем: Последовательность непрерывных функций, которае сходятся равномерно - сходится к непрерывной. непрерывных функций континуум, значит вышеозначенных последовательностей не менее, чем континуум.

2)Будет ли интегрирована по Лебегу на полуинтервале $(0;1]$ функция $f(t)=1/t$?

Решаю так: зададим срезку функции числом $n$ . Получим последовательность:
$f_n(t)=\begin{cases}
n,  0<t<1/n\\
1/t,  1/n<t<1\\
\end{cases}
$
$f_1(t)<=f_2(t)<=...<=f_n(t)$
$\int_{[0;1]}^{} f_n(t)dt=\int_{0}^{1/n} ndt+\int_{1/n}^{1} 1/tdt=nt|^{1/n}_0+lnt|^1_{1/n}=1+\ln 1-\ln 1/n=1+\ln n$
Предела этого интеграла при $n\rightarrow \infty$ не существует, значит функция не интегрируема

Что здесь неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 14:23 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
xenich в сообщении #792454 писал(а):
Последовательность непрерывных функций, которае сходятся равномерно - сходится к непрерывной. непрерывных функций континуум, значит вышеозначенных последовательностей не менее, чем континуум.

А вдруг все такие последовательности сходятся к одной и той же непрерывной функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 14:36 


19/05/10

3940
Россия
Второй в принципе верен, какие-то формальности опущены. Ну расходится эта последовательность интегралов, по какой теореме, формуле, определению исходный интеграл не существует?
А может надо по определению показать, тогда надо смотреть какое оно определение конкретно у вас на лекциях?

 Профиль  
                  
 
 Re: теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
xenich в сообщении #792454 писал(а):
Что здесь неверно?

Вероятно, не написан вывод, почему из этой бесконечности следует, что функция не интегрируема по Лебегу.
Или, быть может, нужно было пользоваться чисто определением? Тогда надо брать простые функции, например $\psi_k(x) = k \cdot \chi_{(\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k})}(x)$, $k \in \mathbb{N}$, $x \in (0; 1]$. Обозначим $f_n(x) = \sum\limits_{k = 1}^n \psi_k$
Тогда, $\int\limits_{(0; 1]}f(x) dx \geqslant \sup\limits_{n} \int_{(0; 1]} f_n(x) dx = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} = +\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 15:08 


29/03/11
53
со второй вроди бы понято спасибо.

а в первой я имел ввиду вот что: раз непрерывных функций существует континуум, то существует и континуум равномерно сходящихся к ним последовательностей функций. разве это не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
xenich в сообщении #792471 писал(а):
а в первой я имел ввиду вот что: раз непрерывных функций существует континуум, то существует и континуум равномерно сходящихся к ним последовательностей функций


А почему не больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 16:43 


29/03/11
53
SpBTimes в сообщении #792489 писал(а):
xenich в сообщении #792471 писал(а):
а в первой я имел ввиду вот что: раз непрерывных функций существует континуум, то существует и континуум равномерно сходящихся к ним последовательностей функций


А почему не больше?


может быть и больше, но мне нужна нижняя оценка. верхнюю-то я уже сделал

 Профиль  
                  
 
 Re: теория меры, Интеграл Лебега
Сообщение25.11.2013, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Тогда все хорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group